미분과 적분(8)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

 앞에서 등비수열의 극한, 수렴조건에 대해 알아 보았다. 여기서는 등비급수에 대해 알아보기 앞서 급수에 대하여 알아보겠다.

 수열을 배우고 나면 수열의 합을 배운다. 어떤 수열을 무한히 더하면 어떠한 값에 가까워질까? 먼저 수열을 무한히 더한다는 것은 할 수 있는 일이 아니다. 그래서 수학자들은 이 무한히 더하는 것을 다른 방식으로 접근한다. 어떤 수열을 초항부터 적당한 항까지 더한 다음 극한을 취하는 방법을 사용한다^[각주:1]. 이때 초항부터 적당한 항까지 더한 것을 부분합이라고 한다. 또한 부분합에 극한을 취한 것을 급수라고 한다. 예를 보며 알아보자.

$$ \begin{matrix} \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ { {1} \over {n(n+1)} }} } &=& \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{\left( { {1} \over {n} }-{ {1} \over {n+1} } \right)} } \\ &=& \lim_{n \to \infty}{ \left(1-{ {1} \over {2} }+{ {1} \over {2} }-{ {1} \over {3} }+{ {1} \over {3} }-{ {1} \over {4} } +\cdots +{ {1} \over {n-1} }-{ {1} \over {n-1} }+{ {1} \over {n} }-{ {1} \over {n} }+{ {1} \over {n+1} } \right)} \\ &=& \lim_{n \to \infty}{ \left( 1-{ {1} \over {n+1} } \right) } = 1 \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ 7 } } = \lim_{n \to \infty}{ 7n } = \infty \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ (4n+1) } } &=& \lim_{n \to \infty}{ n(2n+3) } = \infty \end{matrix} $$

 예를 보면 알 수 있듯 급수는 수렴하기도 하고 발산하기도 한다. 그렇다면 급수가 수렴하는 경우를 어떻게 판단할 수 있을까?

수렴하는 급수의 성질

수렴하는 급수는 다음의 성질을 가진다.

$$ \text{수열 } \left\{ a_{n} \right\} \text{에 대하여 급수 } \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{a_{k}} } \text{가 수렴할 때 } \lim_{n \to \infty}{a_n} = 0 $$

 이때 역은 성립하지 않는다. 이는 급수의 발산을 판정할 때 유용하게 쓰인다.

I. 비교판정법(Comperison Test)

①
$$ a_{n} \ge 0 \text{, } b_{n} \ge 0 \text{에 대하여} $$
$$ \sum{b_n} \text{이 수렴급수이고 } a_{n} \le b_{n} \text{이 충분히 큰 임의의 } n \text{에 대하여 성립하면} $$
$$ \sum{a_n} \text{도 수렴급수이다.} $$

①이 성립하므로 ①의 대우 또한 성립한다.

②
$$ a_{n} \ge 0 \text{, } b_{n} \ge 0 \text{에 대하여} $$
$$ \sum{b_n} \text{이 발산급수이고 } b_{n} \le a_{n} \text{이 충분히 큰 임의의 } n \text{에 대하여 성립하면} $$
$$ \sum{a_n} \text{도 발산급수이다.} $$

 절대수렴을 이용하여 서술하면 다음과 같다.

③
$$ \sum{ b_{n} } \text{이 절대수렴급수이고 } \left|a_{n} \right| \le \left|b_{n} \right| \text{이 충분히 큰 임의의 } n \text{에 대하여 성립하면} $$
$$ \sum{a_n} \text{도 절대수렴급수이다.}$$

④
$$ \sum{b_n} \text{이 절대수렴하지 않고 } \left|a_{n} \right| \le \left|b_{n} \right| \text{이 충분히 큰 임의의 } n \text{에 대하여 성립하면} $$
$$ \sum{a_n} \text{도 절대수렴하지 않는다.}$$

II. 근판정법(Root Test)

$$ \text{급수 } a_{n} \text{에 대하여, } C = \limsup_{n \to \infty}{\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|}} \text{일때} $$
$$ C>1 \text{이면 급수는 발산한다.}  $$
$$ C<1 \text{이면 급수는 절대수렴한다.} $$
$$ C=1 \text{이면 급수의 수렴성을 알 수 없다.} $$

 이는 오귀스탱 루이 코시가 처음 고안한 판정법으로 실수, 복소수를 항으로 하는 급수에 적용할 수 있다[foonoote]이외에 노름 벡터공간 위의 벡터를 항으로 하는 급수에도 적용할 수 있다.[/footnote].

III. 비판정법(Ratio Test)

$$ \text{실수 또는 복소수 항의 급수 } \sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}} \text{에 대하여} $$
$$ a_{n} \ne 0 \text{이 충분히 큰 임의의 } n \text{에 대하여 성립하고} $$
$$ \text{극한 } L = \lim_{n \to \infty}{\left| { {a_{n+1}} \over {a_{n}} } \right|} \text{, } L \in (0 \text{, } +\infty) \text{이 존재하는 경우, } $$
$$ L<1 \text{이면 급수는 절대수렴한다.} $$
$$ L>1 \text{이면 급수는 발산한다.} $$
$$ L=1 \text{이면 급수의 수렴성을 알 수 없다.} $$

 이 판정법은 근판정법을 통해 증명이 가능하다^[각주:2]. 여기서 L은 존재하지 않을 수 있다. 이에 L의 존재 여부에 관계없이 사용가능한 비판정법이 존재하지만 너무 고등학교 수학을 벗어나므로 추후 다루도록 하겠다. 고등학교 교육과정에서는 등비급수의 경우 이를 사용할 수 있다.

IV. 교대급수판정법(Alternating Series Test, Leibniz's Test)

$$ \text{교대급수 } \sum_{n=1}^{\infty}{ (-1)^{n-1}a_{n} } \text{에 대하여 } a_{n} \text{이 단조감소하고 } \lim_{n \to \infty}{a_{n}} = 0 \text{이면, 급수는 수렴한다.} $$

 각 항의 부호가 바뀌는 교대급수인 경우 사용할 수 있는 판정법이다. 라이프니츠가 제시하여 라이프니츠 판정법이라고도 불린다.

V. 적분판정법(Integral Test)

$$ \text{함수 } f \text{가 } [N \text{, } \infty ) \ (N \text{은 정수}) \text{에서 항상 } 0 \text{ 이상이면 급수 } \sum_{n=N}^{\infty}{f(n)} \text{과 이상적분 } \int_{N}^{\infty}{f(n)}\, dx \text{는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.} $$

 위 5개 판정법은 주로 사용되는 급수의 수렴판정법이다. 물론 다른 판정법들도 여럿 있으나 이에 대해서는 다음에 기회가 된다면 다룰 것이다. 증명에 대해서는 이후에 다룰 것이다.

 

 

 

수학을 배우는 것은 불멸의 신들에게 다가가는 것이다.

-플라톤

---

1. 물론 이와 무한히 더하는 것에는 차이가 있다. [본문으로]
2. 즉 이 판정법은 근판정법보다 약한 판정법이다. [본문으로]