미분과 적분(11)

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 미분계수가 존재한다는 말은 미분가능하다는 말과 같다. 다음 식을 보자.

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

이전 글에서 다루었듯이 미분계수는 위와 같이 정의된다. 이 정의에 의해 미분계수가 존재하는 함수는 다음의 성질을 만족한다.

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다.

증명

$$\text{함수 }f(x)\text{가 }x=a\text{에서 미분가능할 때 }{f}^{\prime }(a)=L\text{라고 하면}$$

$$L=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

$$\text{이때 극한값이 }L\text{로 존재하고}(\text{분모})\to 0\text{이므로 }(\text{분자})\to 0$$

$$\text{즉 }\underset{x\to a}{lim}(f(x)-f(a))=0$$

$$\text{이때 }\underset{x\to a}{lim}f(a)=f(a)\text{이므로}$$

$$\begin{array}{ccc}\underset{x\to a}{lim}f(x)& =& \underset{x\to a}{lim}f(x)-f(a)+f(a)\\ & =& \underset{x\to a}{lim}f(x)-f(a)+\underset{x\to a}{lim}f(a)\\ & =& 0+f(a)=f(a)\end{array}$$

$$\therefore \underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)\text{이므로}$$

$$\text{함수 }f(x)\text{가 }x=a\text{에서 미분가능할 때 함수 }f(x)\text{는 }x=a\text{에서 연속이다.}$$

이때 역은 성립하지 않는다.

예시

$$f(x)=3x^3-4x-1$$

$$g(x)=\left|x\right|$$

$$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=f(0)=-1$$

$$\underset{x\to 0}{lim}g(x)=g(0)=0$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=-4$$

$$\underset{x\to 0+}{lim}\frac{g(x)-g(0)}{x}=1\text{, }\underset{x\to 0-}{lim}\frac{g(x)-g(0)}{x}=-1$$

 위에서 볼 수 있듯이 두 함수 f(x), g(x)는 x=0에서 연속이다. 또한 함수 f(x)는 x=0에서 미분계수가 존재한다. 그러나 함수 g(x)는 우미분계수^[각주:1]와 좌미분계수^[각주:2]의 값이 다르므로 x=0에서 미분계수가 존재하지 않는다. 결론적으로 미분계수가 존재하는 구간에서 함수는 연속이지만 주어진 구간에서 함수가 연속이라고 반드시 미분가능한 것은 아니다.

 다음 글에서는 도함수에 대하여 알아볼 것이다.

 

 

 

수학은 모든 종류의 추상적 개념을 다루는데 적합한 도구이다. 이 분야에서의 수학의 위력에는 한계가 없다.

-폴 디랙

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1. 우극한에서 구했을 때의 미분계수 [본문으로]
2. 좌극한에서 구했을 때의 미분계수 [본문으로]