미분과 적분(13)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 앞서 도함수와 고계도함수에 대하여 알아보았다. 본격적으로 미분법에 대해 알아보겠다. 먼저 간단한 n차 다항함수의 미분에 대해 알아보자.

$$f(x) = x^{n} \text{, } f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0}{ { {f(a+h)-f(a)} \over {h} } }$$

i) 상수함수(n=0)일때

$$y=1$$

$$f(x) = 1$$

$$\begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(a+h)-f(a)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {1-1} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {0} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ 0 } = 0 \end{matrix}$$

$$\therefore f(x) = 1 \text{이면 } f^{\prime}(x) = 0$$

ii) n>0일때

$$y=x^{3}$$

$$f(x) = x^{n}$$

$$\begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {(x+h)^{n}-x^{n}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { { \left({}_{n}\mathrm{C}_{0}h^{n} + {}_{n}\mathrm{C}_{1}h^{n-1}x^{1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2}h^{n-2}x^{2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}h^{2}x^{n-2} + {}_{n}\mathrm{C}_{n-1}h^{1}x^{n-1} + {}_{n}\mathrm{C}_{n}x^{n} \right) -x^{n}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {{}_{n}\mathrm{C}_{0}h^{n} + {}_{n}\mathrm{C}_{1}h^{n-1}x^{1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2}h^{n-2}x^{2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}h^{2}x^{n-2} + {}_{n}\mathrm{C}_{n-1}h^{1}x^{n-1} } \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left( {}_{n}\mathrm{C}_{0}h^{n-1} + {}_{n}\mathrm{C}_{1}h^{n-2}x^{1} + {}_{n}\mathrm{C}_{2}h^{n-3}x^{2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}h^{1}x^{n-2} + {}_{n}\mathrm{C}_{n-1}x^{n-1} \right) } \\ &=& {}_{n}\mathrm{C}_{n-1}x^{n-1} \\ &=& {}_{n}\mathrm{C}_{1}x^{n-1} = nx^{n-1} \end{matrix}$$

$$\therefore f(x) = x^{n} (n>0) \text{이면 } f^{\prime}(x) = nx^{n-1}$$

 i), ii)에 의하여 n차 다항함수의 도함수는 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\text{자연수 } n \text{에 대하여 } f(x) = ax^{n} (a \text{는 상수}) \text{이면 } f^{\prime}(x) = anx^{n-1}(\text{단, }x^{0} = 1 \text{로 계산한다.})$$

$$\text{자연수 } n \text{에 대하여 }$$

$$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_{1}x + a_{0} (a_{0} \text{, } a_{1} \text{, } a{2} \text{, } \cdots \text{, } a_{n} \text{은 상수}) \text{이면 }$$

$$f^{\prime}(x) = a_{n}nx^{n-1} + a_{n-1}(n-1)x^{n-2} + a_{n-2}(n-2)x^{n-3} + \cdots + a_{1} (\text{단, }x^{0} = 1 \text{로 계산한다.})$$

 지금까지 n차 다항함수의 미분을 유도하였다. 다음에는 도함수와 이계도함수를 통해 함수의 그래프의 계형을 그리는 법에 대해 다룰 것이다.

 

 

 

 

관찰을 위한 한없이 작은 단위, 즉 역사의 미분으로서 인간과 동일한 의욕의 존재를 가정하고 적분하는 기술을 획득했을 때 우리는 비로소 역사의 법칙을 이해할 수 있다는 기대를 품을 수 있다.

-레프 톨스토이

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