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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(17)

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※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.


 이 글을 포함하여 6번의 글에서 각각 6가지 미분법에 대해 다룰 것이다. 이 6가지 미분법은 공식으로 외워두는 것이 이후 문제를 풀 때 도움이 된다. 굳이 유도해서 사용하면 시간도 오래 걸리고, 문제를 제 시간 안에 풀기 힘들다. 먼저 여기서는 곱의 미분법에 대해 다룰 것이다. 곱의 미분법두 함수가 곱해진 형태를 가지는 함수를 미분하는 방법(또는 공식)을 말한다. 두 함수 f(x), g(x)가 곱해진 형태의 함수 h(x)의 도함수 h'(x)의 형태를 유도해보자.

f(x)=limh0f(a+h)f(a)hh(x)=f(x)g(x)

h(x)=limh0h(x+h)h(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)f(x)g(x)h=limh0f(x+h){g(x+h)g(x)}+{f(x+h)f(x)}g(x)h=limh0(f(x+h){g(x+h)g(x)}h+{f(x+h)f(x)}g(x)h)=limh0(f(x+h)g(x+h)g(x)h+f(x+h)f(x)hg(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)

(limh0f(x+h)=f(x)limh0g(a+h)g(a)h=g(x),limh0f(a+h)f(a)h=f(x)limh0g(x)=g(x))

위 방법을 이용하여 함수 A(x)=f(x)g(x)h(x)의 도함수 A(x)를 구하면

A(x)=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)

 지금까지 곱의 미분법의 식을 유도하였다. 식 여러 개가 곱해진 형태의 함수는 원래 전개한 후 미분을 해야한다. 그러나 곱의 미분법을 이용하면 식을 전개할 필요 없이 미분할 수 있다.

f(x)=(x7)(3x+5)(2x3)

 전개해서 미분을 하는 경우

f(x)=6x317x218x+45

f(x)=18x234x18

 곱의 미분법을 사용하는 경우

f(x)=(x3)(3x+5)(2x3)+(x3)(3x+5)(2x3)+(x3)(3x+5)(2x3)=(3x+5)(2x3)+3(x3)(2x3)+2(x3)(3x+5)

 곱의 미분법의 공식을 간단하게 암기하는 방법은 곱해져 있는 항 하나씩 순서대로 미분하고 나머지 항은 놔둔 상태로 나올 수 있는 가짓수를 더한다고 생각하여 외웠었다. 간단히 첫 번째 항 미분 나머지 그대로, 두 번째 항 미분 나머지 그대로, 세 번째 항 미분 나머지 그대로...를 반복한다고 할 수 있다.

 모든 미분은 적분과 관련되어 있다. 그 중 곱의 미분법은 나중에 나올 부분적분법과 관련이 있다.

 

 

 

무한히 큰 것과 무한히 작은 것 사이에 어떤 구획선 같은 건 존재하지 않는다.

-화이트헤드


 

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