미분과 적분(17)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 이 글을 포함하여 6번의 글에서 각각 6가지 미분법에 대해 다룰 것이다. 이 6가지 미분법은 공식으로 외워두는 것이 이후 문제를 풀 때 도움이 된다. 굳이 유도해서 사용하면 시간도 오래 걸리고, 문제를 제 시간 안에 풀기 힘들다. 먼저 여기서는 곱의 미분법에 대해 다룰 것이다. 곱의 미분법은 두 함수가 곱해진 형태를 가지는 함수를 미분하는 방법(또는 공식)을 말한다. 두 함수 f(x), g(x)가 곱해진 형태의 함수 h(x)의 도함수 h'(x)의 형태를 유도해보자.

$$ f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0}{ { {f(a+h)-f(a)} \over {h} } } \text{, } h(x) = f(x)g(x) $$

$$ \begin{matrix} h^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {h(x+h)-h(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {{\color{Red}{f(x+h)}}g(x+h)-{\color{Red}{f(x+h)}}g(x)+f(x+h){\color{Red}{g(x)}}-f(x){\color{Red}{g(x)}}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}+\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left( { {f(x+h)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}} \over {h} }+{ {\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x)} \over {h} } \right) } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left( f(x+h){ {g(x+h)-g(x)} \over {h} }+{ {f(x+h)-f(x)} \over {h} }g(x) \right) } \\ &=& f(x)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)g(x) \\ &=& f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) \end{matrix} $$

$$ (\because \lim_{h \to 0}{f(x+h)} = f(x) \text{, } \lim_{h \to 0}{ { {g(a+h)-g(a)} \over {h} } } = g^{\prime}(x) \text{,} \lim_{h \to 0}{ { {f(a+h)-f(a)} \over {h} } } = f^{\prime}(x) \text{, } \lim_{h \to 0}{g(x)} = g(x) ) $$

$$ \text{위 방법을 이용하여 함수 } A(x) = f(x)g(x)h(x) \text{의 도함수 } A^{\prime}(x) \text{를 구하면} $$

$$ A^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime}(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime}(x) $$

 지금까지 곱의 미분법의 식을 유도하였다. 식 여러 개가 곱해진 형태의 함수는 원래 전개한 후 미분을 해야한다. 그러나 곱의 미분법을 이용하면 식을 전개할 필요 없이 미분할 수 있다.

$$ f(x) = (x-7)(3x+5)(2x-3) $$

 전개해서 미분을 하는 경우

$$ f(x) = 6x^{3}-17x^{2}-18x+45 $$

$$ f^{\prime}(x) = 18x^{2}-34x-18 $$

 곱의 미분법을 사용하는 경우

$$ \begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& (x-3)^{\prime}(3x+5)(2x-3)+(x-3)(3x+5)^{\prime}(2x-3)+(x-3)(3x+5)(2x-3)^{\prime} \\ &=& (3x+5)(2x-3)+3(x-3)(2x-3)+2(x-3)(3x+5) \end{matrix} $$

 곱의 미분법의 공식을 간단하게 암기하는 방법은 곱해져 있는 항 하나씩 순서대로 미분하고 나머지 항은 놔둔 상태로 나올 수 있는 가짓수를 더한다고 생각하여 외웠었다. 간단히 첫 번째 항 미분 나머지 그대로, 두 번째 항 미분 나머지 그대로, 세 번째 항 미분 나머지 그대로...를 반복한다고 할 수 있다.

 모든 미분은 적분과 관련되어 있다. 그 중 곱의 미분법은 나중에 나올 부분적분법과 관련이 있다.

 

 

 

무한히 큰 것과 무한히 작은 것 사이에 어떤 구획선 같은 건 존재하지 않는다.

-화이트헤드

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