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이 글을 포함하여 6번의 글에서 각각 6가지 미분법에 대해 다룰 것이다. 이 6가지 미분법은 공식으로 외워두는 것이 이후 문제를 풀 때 도움이 된다. 굳이 유도해서 사용하면 시간도 오래 걸리고, 문제를 제 시간 안에 풀기 힘들다. 먼저 여기서는 곱의 미분법에 대해 다룰 것이다. 곱의 미분법은 두 함수가 곱해진 형태를 가지는 함수를 미분하는 방법(또는 공식)을 말한다. 두 함수 f(x), g(x)가 곱해진 형태의 함수 h(x)의 도함수 h'(x)의 형태를 유도해보자.
f′(x)=limh→0f(a+h)−f(a)h, h(x)=f(x)g(x)
h′(x)=limh→0h(x+h)−h(x)h=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h)g(x+h)−f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)−f(x)g(x)h=limh→0f(x+h){g(x+h)−g(x)}+{f(x+h)−f(x)}g(x)h=limh→0(f(x+h){g(x+h)−g(x)}h+{f(x+h)−f(x)}g(x)h)=limh→0(f(x+h)g(x+h)−g(x)h+f(x+h)−f(x)hg(x))=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(∵limh→0f(x+h)=f(x), limh→0g(a+h)−g(a)h=g′(x),limh→0f(a+h)−f(a)h=f′(x), limh→0g(x)=g(x))
위 방법을 이용하여 함수 A(x)=f(x)g(x)h(x)의 도함수 A′(x)를 구하면
A′(x)=f′(x)g(x)h(x)+f(x)g′(x)h(x)+f(x)g(x)h′(x)
지금까지 곱의 미분법의 식을 유도하였다. 식 여러 개가 곱해진 형태의 함수는 원래 전개한 후 미분을 해야한다. 그러나 곱의 미분법을 이용하면 식을 전개할 필요 없이 미분할 수 있다.
f(x)=(x−7)(3x+5)(2x−3)
전개해서 미분을 하는 경우
f(x)=6x3−17x2−18x+45
f′(x)=18x2−34x−18
곱의 미분법을 사용하는 경우
f′(x)=(x−3)′(3x+5)(2x−3)+(x−3)(3x+5)′(2x−3)+(x−3)(3x+5)(2x−3)′=(3x+5)(2x−3)+3(x−3)(2x−3)+2(x−3)(3x+5)
곱의 미분법의 공식을 간단하게 암기하는 방법은 곱해져 있는 항 하나씩 순서대로 미분하고 나머지 항은 놔둔 상태로 나올 수 있는 가짓수를 더한다고 생각하여 외웠었다. 간단히 첫 번째 항 미분 나머지 그대로, 두 번째 항 미분 나머지 그대로, 세 번째 항 미분 나머지 그대로...를 반복한다고 할 수 있다.
모든 미분은 적분과 관련되어 있다. 그 중 곱의 미분법은 나중에 나올 부분적분법과 관련이 있다.
무한히 큰 것과 무한히 작은 것 사이에 어떤 구획선 같은 건 존재하지 않는다.
-화이트헤드
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