미분과 적분(20)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 앞서 합성함수의 미분 공식을 유도하였다. 네 번째 미분 공식은 음함수의 미분법이다. 여기서 음함수라는 용어를 처음 들어봤을 독자들이 많을 것이므로 먼저 용어를 정리해 보자.

음함수

 우리가 지금까지 흔히 본 함수는 y=f(x)의 꼴로 되어 있다. 이렇게 독립변수와 종속변수가 분리되어 나타낸 함수를 양함수라고 한다. 이와 달리 음함수는 f(x, y)=0의 꼴로 독립변수와 종속변수가 분리되지 않은 상태로 나타낸 함수이다.

$$ 3x+4y-6=0 $$

이러한 형태의 음함수는 식을 정리하여 양함수 꼴로 나타낸 후 미분을 하면 된다. 그러나 다음의 형태는 그렇지 않다.

$$ x^{2}+y^{2} = 1 $$

 이는 반지름이 1인 원의 방정식으로 함수가 아니다. 그러나 종속변수 y의 공역을 적당히 잡아주면 함수로 볼 수 있다. 그러믈 이를 다시 양함수 꼴로 바꿀 수 있다. 그러나 표현할 수 있는 x, y의 관계식은 무수히 많고, 이를 모두 양함수 꼴로 바꾸는 것은 매우 힘들며 시간이 낭비된다. 그러므로 음함수를 미분하는 방법을 고안한다.

음함수의 미분법

 음함수의 미분법은 딱히 새로운 것은 아니다. 앞서 다룬 합성함수의 미분법에서 파생된 미분법이라 해도 무방하다. 아니 그냥 같다고 해도 될 것이다. 예를 보며 알아보자.

$$ x^{2}+y^{2} = 1 $$

각 항을 x에 대하여 미분하면

$$ \left( x^{2} \right)^{\prime} + \left( y^{2} \right)^{\prime} = \left( 1 \right)^{\prime} $$

$$ 2x + ( y^{2} )^{\prime} = 0 $$

라고 쓸 수 있다. 여기서 y^{2}을 어떻게 처리할 것인가에 대한 문제가 생긴다. 매우 간단한 해결방법이 있다. 합성함수의 미분법을 이용하면 된다. y는 x에 대한 함수이므로 합성함수의 미분법을 적용하면 y^{2}은 2y × dy/dx로 미분가능하다.

$$ 2x + 2y { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = 0 $$

이런 식으로 음함수를 미분할 수 있다. 이를 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ x \text{에 대한 함수 } y \text{의 관계식이 } f(x, y) = 0 \text{의 꼴로 나타날 때,} $$

$$ f(x, y) = g(x)+h(y) \text{라고 하면} $$

$$ \left\{ f(x, y) \right\}^{\prime} = g^{\prime}(x) +h^{\prime}(y) { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } $$

활용

 음함수의 미분법은 함수의 관계식이 복잡하거나, 양함수 형태의 관계식보다 음함수 형태의 관계식이 간단한 경우 사용하면 좀 더 편하게 미분할 수 있다는 장점이 있다.

n차 다항식의 미분

 이전에 n차 다항함수의 미분을 다루며 차수가 정수인 범위까지 확장하였다. 음함수의 미분법을 활용하면 차수의 범위를 임의의 실수 범위까지 확장할 수 있다.

$$ y = x^{n} $$

n이 유리수인 경우

$$ n = { {p} \over {q} } \left( p \text{, } q \text{는 정수, } q \ne 0 \right) \text{라고 하면} $$

$$ y = x^{ { {p} \over {q} } } $$

$$ y^{q} = x^{p} $$

$$ \text{양변을 } x \text{에 대하여 미분하면} $$

$$ qy^{q-1} { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = px^{p-1} $$

$$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {px^{p-1}} \over {qy^{q-1}} } $$

$$ \text{이때 } y = x^{ { {p} \over {q} } } \text{이므로} $$

$$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {px^{p-1}} \over {q \left( x^{ { {p} \over {q} } } \right)^{q-1}} } = { {p} \over {q} } x^{p-1 - \left( { {p(q-1)} \over {q} } \right)} = { {p} \over {q} } x^{ { {p-q} \over {q} } } = { {p} \over {q} } x^{ { {p} \over {q} }-1 } $$

$$ \therefore { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {p} \over {q} } x^{ { {p} \over {q} }-1 } \text{이므로 } n = { {p} \over {q} } \left( p \text{, } q \text{는 정수, } q \ne 0 \right) \text{,} $$

$$ \text{즉 } n \text{이 유리수인 경우에도 } y = nx^{n-1} \text{이 성립한다.} $$

 차수가 임의의 실수인 범위까지 확장하는 경우는 로그함수의 미분을 다룰 때 같이 다루겠다.

 

 

 

자연의 모든 결과는 다만 몇 가지 불변의 법칙이 수학적으로 전개된 결과이다.

-라플라스

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