미분과 적분(36)

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 앞서 미분계수의 정의를 다루며 적당한 조건에서 미분계수는 접선의 기울기가 됨을 언급했다. 이를 이용해 접선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아보자.

접선의 방정식

 미분가능한 함수 f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$ y-f(t) = f^{\prime}(t)\left( x-t \right) $$

 함수 f(x)의 x=t에서의 미분계수 f'(t)는 다음과 같이 정의된다.

$$ f^{\prime}(t) = \lim_{x \to t}{ { {f(x)-f(t)} \over {x-t} } } $$

 이 식의 형태를 보면 평균변화율에 극한을 취한 형태임을 알 수 있다. 또한 평균변화율은 그 구간에서의 기울기로 생각할 수 있으므로 미분계수는 구간이 매우 작아질 때의 기울기, 즉 접선의 기울기로 생각할 수 있다. 따라서 함수 f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 기울기는 f'(t)라고 할 수 있다.

 이제 접선의 기울기가 f'(t)로 주어졌다. 이때, 기울기가 m이고, 직선이 점 (a, b)를 지나는 직선의 방정식을 구하면

$$ y-b = m\left( x-a \right) $$

이다. 함수 f(x)는 x=t에서 점 (t, f(t))를 지나므로 이 점에서의 접선의 방정식은

$$ y-f(t) = f^{\prime}(t)(x-t) $$

$$ y = f^{\prime}(t)(x-t)+f(t) $$

이다.

원 위의 한 점에서의 접선의 방정식

 위 방법을 이용하면 다른 여러 함수에서 외우던 공식을 상당히 줄일 수 있다. 원을 예로 들어보자. 반지름이 r인 원의 방정식은 다음과 같다.

$$ x^{2}+y^{2} =r^{2} $$

이 원에 접하면서 기울기가 m인 접선의 방정식은

$$ y=mx \pm r \sqrt{m^{2}+1} $$

이다. 이를 미분을 이용해 구해보자. 위의 원의 방정식을 매개변수 t를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ x=r\cos{t} \text{, } y=r\sin{t} $$

위 식을 매개변수 t에 대해 미분하면

$$ { {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!t} } = -r\sin{t} \text{, } { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!t} } = r\cos{t} $$

$$ \text{따라서 } { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { { { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!t} } } \over { { {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!t} } } } = -\cot{t} $$

이때 m=-cot t를 만족하는 t의 값을 a라 하면 매개변수 t에 대하여 t=a일 때,

$$ m = \cot{a} \text{, } x = r\cos{a} \text{, } y = r\sin{a} $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ y-r\sin{a} = - \left( x-r\cos{a} \right) \cot{a} $$

 위 식을 다음과 같이 정리하면 접선의 방정식을 구하는 공식을 유도할 수 있다.

$$ y = -x\cot{a}+r\cos{a}\cot{a}+r\sin{a} $$

$$ y=-x\cot{a}+r\left( { {\cos^{2}{a}} \over {\sin{a}} }+\sin{a} \right) $$

$$ y=-x\cot{a}+ { {r \left( \cos^{2}{a}+\sin^{2}{a} \right)} \over {\sin{a}} } $$

$$ y=-x\cot{a}+ { {r} \over {\sin{a}} } $$

$$ y=-x\cot{a}+ rcsc{a} $$

$$ \text{이때, } \csc^{2}{a} = \cot^{2}{a}+1 \text{, } -\cot{a} = m \text{이므로} $$

$$ \csc{a} = \pm \sqrt{ cot^{2}+1 } = \pm \sqrt{ m^{2}+1 } $$

$$ \therefore y=mx \pm r \sqrt{m^{2}+1} $$

 원의 방정식에서는 매개변수를 이용하여 접선의 방정식을 유도했지만 이는 상황에 따라 편한 방법을 사용하면 된다.

 

 

 

중요한 것이 있는 곳에는 기하학이 있다.

-케플러

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