미분과 적분(38)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 함수는 여러 가지로 나눌 수 있는데 그중에서도 특별히 우함수와 기함수라는 것이 있다. 이 두 함수는 몇 가지 특이한 성질을 가진다. 우함수와 기함수는 다음과 같이 정의된다.

$$ \text{우함수: } f(x) = f(-x) $$

$$ \text{기함수: } f(x) = -f(-x) $$

이러한 정의로 인해 우함수의 도함수는 기함수가, 기함수의 도함수는 우함수가 된다. 또한 기함수의 부정적분은 우함수가 되지만 우함수의 부정적분은 항상 기함수인 것은 아니다.

$$ f(x)=f(-x) \to f^{\prime} = -f^{\prime}(-x) $$

$$ f(x) = -f(-x) \to f^{\prime}(x) = f^{\prime}(-x) $$

$$ f(x)=-f(-x) \text{, } F^{\prime}(x) = f(x) \to F(x) = F(-x)+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ f(x)=f(-x) \text{, } F^{\prime}(x) = f(x) \to F(x) = -F(-x)+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 우함수와 기함수는 정적분에서 또다른 특이한 성질을 가진다.

우함수의 정적분

$$ f(x) = f(-x) \text{이면} $$
$$ \int^{a}_{-a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = 2 \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ f(x) = f(-x) \text{라 하면} $$

$$ \int^{a}_{-a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x +\int^{0}_{-a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x -\int^{-a}_{0} { f(-x) }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ t=-x \text{라 두면 } x=-t \text{, } { {\operatorname{d}\!t} \over {\operatorname{d}\!x} } = -1 \text{이므로} $$

$$ \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x-\int^{-a}_{0} { f(-x) }\, \operatorname{d}\!x = \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x +\int^{a}_{0} { f(t) }\, \operatorname{d}\!t = 2 \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ \therefore \int^{a}_{-a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = 2 \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

 

 이렇듯 우함수를 정적분할 때 윗끝과 아랫끝의 절댓값이 같고 부호가 다르면, 0부터 본래의 윗끝의 값까지 정적분하여 두배를 한 값과 본래의 정적분 값이 같다.

기함수의 정적분

$$ f(x) = -f(-x) \text{이면} $$
$$ \int^{a}_{-a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = 0 $$

$$ f(x) = -f(-x) \text{라 하면} $$

$$ \int^{a}_{-a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x +\int^{0}_{-a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x -\int^{-a}_{0} { \left\{ -f(-x) \right\} }\, \operatorname{d}\!x = \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x +\int^{-a}_{0} { f(-x) }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ t=-x \text{라 두면 } x=-t \text{, } { {\operatorname{d}\!t} \over {\operatorname{d}\!x} } = -1 \text{이므로} $$

$$ \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x +\int^{-a}_{0} { f(-x) }\, \operatorname{d}\!x = \int^{a}_{0} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x -\int^{a}_{0} { f(t) }\, \operatorname{d}\!t = 0 $$

$$ \therefore \int^{a}_{-a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = 0 $$

 이렇듯 기함수를 정적분할 때 윗끝과 아랫끝의 절댓값이 같고 부호가 다르면 정적분 값이 0이 된다.

 

 위의 성질들은 여러 우함수와 기함수가 더해져있는 함수의 미분과 적분을 할 때 이용하면 연산을 편하게 할 수 있다.

 

 

 

만물은 기호로 가득 차 있으며, 현명한 사람은 어떤 것으로부터 다른 것에 대한 것을 알 수 있다.

-플로티누스

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