미분과 적분(39)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 치환적분법을 사용할 때 알아두면 부정적분을 구하거나 정적분 값을 구할 때 유용한 몇 가지 방법이 있다. 이 방법들은 문제 해결에 매우 유용하게 사용되니 꼭 알아두기 바란다.

일차함수가 합성된 함수의 부정적분

$$ g^{\prime}(x) = f^{\prime}(ax+b) \left(a \ne 0 \right) \to g(x) = { {1} \over {a} } f(ax+b)+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 함수 f(x)가 미분가능할 때 다음과 같이 정의된 함수 g(x)의 부정적분을 구해보자.

유도과정

$$ g(x) = f^{\prime}(ax+b) $$

양변을 x에 대해 적분하면

$$ \int { g(x) }\, \operatorname{d}\!x = \int { f^{\prime}(ax+b) }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ \text{이때, } t = ax+b \text{라고 하면 } { {\operatorname{d}\!t} \over {\operatorname{d}\!x} } = a \text{이므로} $$

$$ \int { f^{\prime}(ax+b) }\, \operatorname{d}\!x = \int { \left\{ { {1} \over {a} } f^{\prime}(t) \right\} }\, \operatorname{d}\!t = { {1} \over {a} } \int { f^{\prime}(t) }\, \operatorname{d}\!t = { {1} \over {a} } f(t)+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ \therefore \int { g(x) }\, \operatorname{d}\!x = { {1} \over {a} } f(ax+b)+\left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 여기서 다룬 치환적분법은 위의 함수처럼 일차함수가 합성되어있는 함수의 경우에 한하여 사용 가능하다. 이 방법은 유도과정이 그냥 치환적분법을 사용하는 방법과 동일하기 때문에 굳이 외우지 않아도 문제를 푸는데에는 지장이 거의 없다. 그러나 외워두면^[각주:1] 문제 푸는 시간을 조금이나마 단축할 수 있다는 장점이 있다.

자연로그함수를 활용한 치환적분법

$$ g^{\prime}(x) = { {f^{\prime}(x)} \over {f(x)} } \to g(x) = \ln{ \left| f(x) \right| }+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

유도과정

$$ \left\{ \ln{ \left| f(x) \right| } \right\}^{\prime} = { {f^{\prime}(x)} \over {f(x)} } $$

$$ { {f^{\prime}(x)} \over {f(x)} } = \left\{ \ln{ \left| f(x) \right| } \right\}^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int { { {f^{\prime}(x)} \over {f(x)} } }\, \operatorname{d}\!x = \ln{ \left| f(x) \right| }+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 이 치환적분법은 분모의 도함수가 분자에 있는 꼴의 함수를 적분할 때 사용하는 방법이다. 이 방법을 적절히 사용하면 부정적분을 구하지 못할 것처럼 생긴 분수 꼴의 함수의 부정적분이 종종 구할 수 있게 된다. 이 방법은 적분에서 특히 많이 이용되는 기법 중 하나이니 반드시 기억해두기 바란다. 다음은 자연로그함수를 활용한 치환적분법의 예이다.

예시

$$ \text{①: } f^{\prime}(x) = { { \cos{x}-\sin{x} } \over { \sin{x}+\cos{x} } } $$

$$ f(x) = \int { { { \cos{x}-\sin{x} } \over { \sin{x}+\cos{x} } } }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ \text{이때, } \left( \sin{x}+\cos{x} \right)^{\prime} = \cos{x}-\sin{x} \text{이므로} $$

$$ \int { { { \cos{x}-\sin{x} } \over { \sin{x}+\cos{x} } } }\, \operatorname{d}\!x = \ln{ \left| \sin{x}+\cos{x} \right| }+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ \therefore f(x) = \ln{ \left| \sin{x}+\cos{x} \right| }+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

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$$ \text{②: } f^{\prime}(x) = { { \cos{x} } \over { \sin{x}+\cos{x} } } $$

$$ f(x) = \int { { { \cos{x} } \over { \sin{x}+\cos{x} } } }\, \operatorname{d}\!x = \int { { { e^{x}\cos{x} } \over { e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right) } } }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ \text{이때, } \left\{ e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right) \right\}^{\prime} = 2e^{x}\cos{x} \text{이므로} $$

$$ \int { { { e^{x}\cos{x} } \over { e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right) } } }\, \operatorname{d}\!x = { {1} \over {2} } \ln{ \left| e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right) \right| } +C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ \therefore f(x) = { {1} \over {2} } \ln{ \left| e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right) \right| } +C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 

 

 

다른 모든 아름다움이 그러하듯, 수학 이론의 아름다움도 설명할 수가 없고 다만 느낄 수 있을 뿐이다.

-아서 케일러

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1. 굳이 외우려고 하지 않아도 풀다보면 자연스럽게 외워지는 경우도 있다. [본문으로]