미분과 적분(39)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 치환적분법을 사용할 때 알아두면 부정적분을 구하거나 정적분 값을 구할 때 유용한 몇 가지 방법이 있다. 이 방법들은 문제 해결에 매우 유용하게 사용되니 꼭 알아두기 바란다.

일차함수가 합성된 함수의 부정적분

$$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(ax+b)(a\ne 0)\to g(x)=\frac{1}{a}f(ax+b)+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

 함수 f(x)가 미분가능할 때 다음과 같이 정의된 함수 g(x)의 부정적분을 구해보자.

유도과정

$$g(x)=f^{\prime }(ax+b)$$

양변을 x에 대해 적분하면

$$\int g(x)\mathrm{d}x=\int f^{\prime }(ax+b)\mathrm{d}x$$

$$\text{이때, }t=ax+b\text{라고 하면 }\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=a\text{이므로}$$

$$\int f^{\prime }(ax+b)\mathrm{d}x=\int \{\frac{1}{a}{f}^{\prime }(t)\}\mathrm{d}t=\frac{1}{a}\int f^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{a}f(t)+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

$$\therefore \int g(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{a}f(ax+b)+\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

 여기서 다룬 치환적분법은 위의 함수처럼 일차함수가 합성되어있는 함수의 경우에 한하여 사용 가능하다. 이 방법은 유도과정이 그냥 치환적분법을 사용하는 방법과 동일하기 때문에 굳이 외우지 않아도 문제를 푸는데에는 지장이 거의 없다. 그러나 외워두면^[각주:1] 문제 푸는 시간을 조금이나마 단축할 수 있다는 장점이 있다.

자연로그함수를 활용한 치환적분법

$$g^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\to g(x)=\ln |f(x)|+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

유도과정

$${\{\ln |f(x)|\}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$

$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}={\{\ln |f(x)|\}}^{\prime }$$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln |f(x)|+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

 이 치환적분법은 분모의 도함수가 분자에 있는 꼴의 함수를 적분할 때 사용하는 방법이다. 이 방법을 적절히 사용하면 부정적분을 구하지 못할 것처럼 생긴 분수 꼴의 함수의 부정적분이 종종 구할 수 있게 된다. 이 방법은 적분에서 특히 많이 이용되는 기법 중 하나이니 반드시 기억해두기 바란다. 다음은 자연로그함수를 활용한 치환적분법의 예이다.

예시

$$\text{①: }{f}^{\prime }(x)=\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}$$

$$f(x)=\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x$$

$$\text{이때, }{(\sin x+\cos x)}^{\prime }=\cos x-\sin x\text{이므로}$$

$$\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=\ln |\sin x+\cos x|+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

$$\therefore f(x)=\ln |\sin x+\cos x|+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

$$$$

$$\text{②: }{f}^{\prime }(x)=\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}$$

$$f(x)=\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=\int \frac{e^x\cos x}{e^x(\sin x+\cos x)}\mathrm{d}x$$

$$\text{이때, }{\left\{e^x(\sin x+\cos x)\right\}}^{\prime }=2e^x\cos x\text{이므로}$$

$$\int \frac{e^x\cos x}{e^x(\sin x+\cos x)}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln \left|e^x(\sin x+\cos x)\right|+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

$$\therefore f(x)=\frac{1}{2}\ln \left|e^x(\sin x+\cos x)\right|+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

 

 

 

다른 모든 아름다움이 그러하듯, 수학 이론의 아름다움도 설명할 수가 없고 다만 느낄 수 있을 뿐이다.

-아서 케일러

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1. 굳이 외우려고 하지 않아도 풀다보면 자연스럽게 외워지는 경우도 있다. [본문으로]