미분과 적분(40)

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$$\int f^{\prime }(x)gx\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

LATE(로다삼지)

 부분적분법은 두 함수가 곱해져 있는 꼴의 함수를 적분할 때 사용하는 적분법이다. 부분적분법을 사용할 때에는 곱해져 있는 두 함수를 결정하고, 위의 식에서 f'(x)와 g(x)가 두 함수 중 어떤 것이 될지 결정해야 한다. 이것이 바로 보이는 함수의 경우 고민할 필요가 없다. 그러나 대부분의 경우 바로 보이지 않고, 결정하기 어렵다. 그래서 몇몇 수학자들이 부분적분법을 사용할 때 유용한 특별한 기법을 개발했는데, 이것이 바로 LATE 또는 로다삼지로 불리는 부분적분법에서 곱해져있는 두 함수를 결정하는 방법이다.

로다삼지/LATE

 위 그림은 f'(x)와 g(x)를 결정할 때 참고할 수 있는 그림이다. 로다삼지 또는 LATE라고 불리는 이유는 단순하다. 위 그림의 4가지 함수의 앞글자만 딴 것^[각주:1]이다. 이러한 명칭은 g(x)부터 f'(x) 순으로 이루어져 있어, 순서를 외우기에도 도움이 된다. 곱해져 있는 두 함수 중 f'(x)에 가까운 함수를 f'(x), g(x)에 가까운 함수를 g(x)로 결정하면 된다. 물론 이는 모든 함수에 대하여 일반적으로 통하는 기법은 아니다. 그러나 꽤나 많은 함수에 대하여 통하므로 많은 사람들이 사용한다.

예시

$$A^{\prime }(x)=x{e}^x$$

$$f^{\prime }(x)=e^x\text{, }g(x)=x\text{라고 두면}$$

$$A^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)\text{, }f(x)=e^x\text{, }{g}^{\prime }(x)=1$$

$$A(x)=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=x{e}^x-\int e^x\mathrm{d}x=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$$

$$\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

$$\therefore A(x)=(x-1)e^x+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

ln x의 부정적분

 흔히들 ln x를 적분하는 것^[각주:2]에 대해 물어보면 어떻게 하는지 모르는 경우가 많다. 그러나 대체로 부정적분을 물어보면 거의 대부분 바로 답이 튀어 나온다. 그만큼 ln x의 부정적분은 문제를 풀 때 많이 나온다고 생각할 수 있겠다. 그런데 이를 보면 ln x의 부정적분을 구하는 과정이 어려워서 부정적분만 외우는 것일까? 아니다. 단순히 부분적분법만 사용하면 구할 수 있다. 다음은 ln x의 부정적분을 유도하는 과정이다.

$$\int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

$$f^{\prime }(x)=\ln x$$

$$g^{\prime }=1\text{, }h(x)=\ln x\text{라고 두면}$$

$$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)h(x)\text{, }g(x)=x\text{, }{h}^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$$

$$f(x)=g(x)h(x)-\int g(x)h^{\prime }(x)\mathrm{d}x=x\ln x-\int (x\times \frac{1}{x})\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$$

$$\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

$$\therefore \int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C\left(C\text{는 적분상수}\right)$$

 여기서 볼 수 있듯이 부분적분법을 사용할 때 곱해져 있는 두 함수를 상수함수와의 곱으로 결정하는 것 또한 얼마든지 가능하다. 다만, 함수를 잘못 결정하면 상당히 적분하기 힘들어지므로 주의해야 한다.

 

 

 

미분적분이야말로 자연을 읽는 언어이다.

-피터 헤인즈 교수

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1. 로그함수(Logarithmic function), 다항함수(Algebraic function, 대수함수), 삼각함수(Trigonometric function), 지수함수(Exponential function) [본문으로]
2. 부정적분을 구하는 과정 [본문으로]