미분과 적분(40)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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$$ \int { f^{\prime}(x)g{x} }\, \operatorname{d}\!x = f(x)g(x) - \int {f(x)g^{\prime}(x)}\, \operatorname{d}\!x $$

LATE(로다삼지)

 부분적분법은 두 함수가 곱해져 있는 꼴의 함수를 적분할 때 사용하는 적분법이다. 부분적분법을 사용할 때에는 곱해져 있는 두 함수를 결정하고, 위의 식에서 f'(x)와 g(x)가 두 함수 중 어떤 것이 될지 결정해야 한다. 이것이 바로 보이는 함수의 경우 고민할 필요가 없다. 그러나 대부분의 경우 바로 보이지 않고, 결정하기 어렵다. 그래서 몇몇 수학자들이 부분적분법을 사용할 때 유용한 특별한 기법을 개발했는데, 이것이 바로 LATE 또는 로다삼지로 불리는 부분적분법에서 곱해져있는 두 함수를 결정하는 방법이다.

로다삼지/LATE

 위 그림은 f'(x)와 g(x)를 결정할 때 참고할 수 있는 그림이다. 로다삼지 또는 LATE라고 불리는 이유는 단순하다. 위 그림의 4가지 함수의 앞글자만 딴 것^[각주:1]이다. 이러한 명칭은 g(x)부터 f'(x) 순으로 이루어져 있어, 순서를 외우기에도 도움이 된다. 곱해져 있는 두 함수 중 f'(x)에 가까운 함수를 f'(x), g(x)에 가까운 함수를 g(x)로 결정하면 된다. 물론 이는 모든 함수에 대하여 일반적으로 통하는 기법은 아니다. 그러나 꽤나 많은 함수에 대하여 통하므로 많은 사람들이 사용한다.

예시

$$ A^{\prime}(x) = xe^{x} $$

$$ f^{\prime}(x) = e^{x} \text{, } g(x) = x \text{라고 두면} $$

$$ A^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)g(x) \text{, } f(x) = e^{x} \text{, } g^{\prime}(x) = 1 $$

$$ A(x) = f(x)g(x)-\int { f(x)g^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x = xe^{x}-\int { e^{x} }\, \operatorname{d}\!x = xe^{x} -e^{x} +C = \left( x-1 \right) e^{x}+C $$

$$ \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ \therefore A(x) = \left( x-1 \right) e^{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

ln x의 부정적분

 흔히들 ln x를 적분하는 것^[각주:2]에 대해 물어보면 어떻게 하는지 모르는 경우가 많다. 그러나 대체로 부정적분을 물어보면 거의 대부분 바로 답이 튀어 나온다. 그만큼 ln x의 부정적분은 문제를 풀 때 많이 나온다고 생각할 수 있겠다. 그런데 이를 보면 ln x의 부정적분을 구하는 과정이 어려워서 부정적분만 외우는 것일까? 아니다. 단순히 부분적분법만 사용하면 구할 수 있다. 다음은 ln x의 부정적분을 유도하는 과정이다.

$$ \int { \ln{x} }\, \operatorname{d}\!x = x \ln{x}-x +C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ f^{\prime}(x) = \ln{x} $$

$$ g^{\prime} = 1 \text{, } h(x) = \ln{x} \text{라고 두면}$$

$$ f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x)h(x) \text{, } g(x) = x \text{, } h^{\prime}(x) = { {1} \over {x} } $$

$$ f(x) = g(x)h(x) -\int { g(x)h^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x = x \ln{x} -\int { \left( x \times { {1} \over {x} } \right) }\, \operatorname{d}\!x = x\ln{x}-x+C $$

$$ \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ \therefore \int { \ln{x} }\, \operatorname{d}\!x = x\ln{x}-x+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 여기서 볼 수 있듯이 부분적분법을 사용할 때 곱해져 있는 두 함수를 상수함수와의 곱으로 결정하는 것 또한 얼마든지 가능하다. 다만, 함수를 잘못 결정하면 상당히 적분하기 힘들어지므로 주의해야 한다.

 

 

 

미분적분이야말로 자연을 읽는 언어이다.

-피터 헤인즈 교수

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1. 로그함수(Logarithmic function), 다항함수(Algebraic function, 대수함수), 삼각함수(Trigonometric function), 지수함수(Exponential function) [본문으로]
2. 부정적분을 구하는 과정 [본문으로]