삼각함수(1)

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 도형 중에는 '각'이라는 것이 있다. 이때, 각에는 크기가 있고, 길이를 m(미터)로 표현하듯이 각의 크기를 표현할 방법이 있어야 했다. 그리하여 각의 크기-각도-를 표현하기 위해 두 가지 방법을 사용한다. 바로 '60분법'과 '호도법'이다. 이 둘에 대해 다루기 앞서 각을 정의하자.

각의 정의

$$ \text{시초선: } \overset{\longrightarrow}{\mathrm{OA}} \text{, 동경: } \overset{\longrightarrow}{\mathrm{OB}} $$

 각은 시작점이 같은 두 반직선에 의해 생기는 두 반직선 사이의 공간이다. 위 그림과 같이 고정된 한 반직선 OA가 같은 위치에 있던 반직선 OB가 회전하면서 각이 생기게 되는데, 이때 고정되어 기준이 되는 반직선 OA를 시초선, 움직이는 반직선 OB를 동경이라고 한다. 즉, 각은 시초선과 동경으로 구성된다고 할 수 있다. 여기서 각의 크기를 각도라고 한다. 고등학교에서 사용하는 각-평면각-의 크기를 표현하는 방법은 두 가지가 있는데, 그것이 바로 '60분법'과 '호도법'이다.

60분법

$$ 1 \text{회전} = 360^{\circ} $$
$$ 1^{\circ} = 60^{\prime} \text{, } 1^{\prime} = 60^{\prime \prime} $$

 아마 독자들이 흔히 다뤄왔을 각도의 표현법은 60분법일 것이다. 초등학교에서부터 각을 배울 때 배우며, 심지어 각도기에서도 단위를 60분법으로 표기하기 때문이다. 60분법은 동경이 1회전하였을 때의 각도를 360º로 정의하여 각도를 표현하는 방법이다. 60분법에서 사용하는 단위는 º-도-와 '-분-, "-초-가 있다. º는 위의 정의에 따라 정의되며, 1º는 위 정의에 따라 동경이 1/360회전 하였을 때의 각이다. 또한 1º=60', 1'=60"로 하여 분과 초를 정의한다. 상당히 익숙하지만 연산을 할 때 꽤나 불편하다. 그래서 고등학교에서부터는 새로운 단위를 사용한다. 그 새로운 단위를 사용하는 방법이 호도법이다.

호도법

$$ \theta = { {l} \over {r} } $$
1rad: 한 부채꼴에서 반지름과의 호의 길이가 같을 때의 중심각의 크기
$$ \pi \mathrm{rad} = 180^{\circ} $$
$$ 1 \mathrm{rad} = { {180^{\circ}} \over {\pi} } \fallingdotseq 57.29578^{\circ} $$

반지름과 호의 길이가 같은 부채꼴. 중심각의 크기는 1 rad이다.

 호도법은 호의 길이를 이용하여 각도를 정의하는 방법이다. 호도법의 단위는 라디안-rad, radian-으로, 부채꼴에서 호와 반지름의 길이의 비를 통해 정의한다. 부채꼴의 반지름을 r, 호의 길이를 l, 호도법으로 나타낸 중심각의 크기를 θ라고 하면 다음과 같이 정의한다.

$$ \theta = { {l} \over {r} } $$

 호도법의 정의를 보면 l의 차원은 [L]이고, r의 차원은 [L]로 같으므로 호도법의 단위는 60분법과 달리 차원이 없게 된다. 이러한 호도법의 정의로 인해 어떤 부채꼴에서 호의 길이가 반지름의 길이와 같을 때의 각의 크기는 1 rad이 된다. 또한 복잡한 60분법의 계산을 호도법을 통해 단순화해주어 연산이 편리하게 만들어준다.

호도법과 60분법 간의 관계

$$ \theta = { {\pi} \over {180^{\circ}} } \phi $$
$$ l = r \theta = 2 \pi r \times { {\phi} \over {360^{\circ}} } $$
$$ S = { {1} \over {2} } r^{2} \theta = { {1} \over {2} }rl = \pi r^{2} \times { {\phi} \over {360^{\circ}} } $$

$$ l = r \theta = 2 \pi r \times { {\phi} \over {360^{\circ}} } $$

$$ \theta = { {\pi} \over {180^{\circ}} } \phi $$

 호도법의 정의에 의해 l=rθ가 성립한다. 이때, 60분법으로 나타낸 중심각의 크기를 φ라고 하면, l=2πr×(φ/360º)이다. 따라서 θ=(π/180º)φ가 성립한다.

$$ S = { {1} \over {2} } r^{2} \theta = { {1} \over {2} }rl = \pi r^{2} \times { {\phi} \over {360^{\circ}} } $$

 중학교에서 부채꼴의 넓이를 구할 때, 한 원에서 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 비례함을 이용하여, 부채꼴의 중심각과 360º와의 비를 이용하여 넓이를 구했다. 비를 통해 유도되는 부채꼴의 넓이 S를 구하는 식은 다음과 같다.

$$ S = \pi r^{2} \times { {\phi} \over {360^{\circ}} } $$

위에서 θ=(π/180º)φ가 성립하므로 S를 다음과 같이 서술할 수 있다.

$$ S = { {1} \over {2} } r^{2} \theta $$

또한 l=rθ이므로

$$ S = { {1} \over {2} } rl $$

이다.

 이렇듯 호도법을 이용하면 60분법을 이용할 때보다 식과 연산이 간단해져 매우 편리하다. 또한 호도법은 차원이 없기에 60분법과 달리 수학에서는 대체로 단위를 생략할 수 있다는 점 또한 호도법의 편리함 중 하나이다.

특수각

 삼각함수에서 자주, 그리고 유용하게 사용되는 각도를 특수각이라 한다. 특수각은 0º, 30º, 45º, 60º, 90º로 5개가 있으며, 경우에 따라 15º, 75º를 포함시키기도 한다. 특수각의 삼각비 값은 사용되는 곳이 많고 매우 기본적인 값들이니 외워두어야 한다. 대부분 중학교에서 특수각을 외웠겠지만, 이는 60분법을 이용한 것이므로 호도법으로 변환해주어야한다. 즉, 호도법으로도 특수각을 외워주어야한다는 뜻이다. 아래는 특수각을 정리한 표이다.

60분법	$$ 0^{\circ} $$	$$ 15^{\circ} $$	$$ 30^{\circ} $$	$$ 45^{\circ} $$	$$ 60^{\circ} $$	$$ 75^{\circ} $$	$$ 90^{\circ} $$
호도법	$$ 0 $$	$$ { {\pi} \over {12} } $$	$$ { {\pi} \over {6} } $$	$$ { {\pi} \over {4} } $$	$$ { {\pi} \over {3} } $$	$$ { {5 \pi} \over {12} } $$	$$ { {\pi} \over {2} } $$
$$ \sin $$	$$ 0 $$	$$ { {\sqrt{6}-\sqrt{2}} \over {4} } $$	$$ { {1} \over {2} } $$	$$ { {\sqrt{2}} \over {2} } $$	$$ { {\sqrt{3}} \over {2} } $$	$$ { {\sqrt{6}+\sqrt{2}} \over {4} } $$	$$ 1 $$
$$ \cos $$	$$ 1 $$	$$ { {\sqrt{6}+\sqrt{2}} \over {4} } $$	$$ { {\sqrt{3}} \over {2} } $$	$$ { {\sqrt{2}} \over {2} } $$	$$ { {1} \over {2} } $$	$$ { {\sqrt{6}-\sqrt{2}} \over {4} } $$	$$ 0 $$
$$ \tan $$	$$ 0 $$	$$ { {\sqrt{6}-\sqrt{2}} \over {\sqrt{6}+\sqrt{2}} } $$	$$ { {\sqrt{3}} \over {3} } $$	$$ 1 $$	$$ \sqrt{3} $$	$$ { {\sqrt{6}+\sqrt{2}} \over {\sqrt{6}-\sqrt{2}} } $$	$$ - $$

 

 

 

중요한 것이 있는 곳에는 기하학이 있다.

-케플러

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