미분과 적분(42)

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 어떤 함수를 부분적분할 때, 자연상수 e를 밑으로 하는 지수함수가 곱해져 있으면 상당히 편하다. 필자는 이를 공식으로 정리하여 사용하기도 하였으나, 이후 사용의 익숙해짐에 따라 자연스럽게 사용하게 되었다. 이 중 하나를 같이 공유하고자 한다.

$$ \left\{ e^{x} f(x) \right\}^{\prime} = \left\{ f(x)+f^{\prime}(x) \right\}e^{x} $$

 e^{x}를 미분하면 e^{x}가 나오므로 e^{x}가 곱해져 있는 꼴의 함수의 경우, 도함수 또한 e^{x}가 곱해져 있는 꼴이 나오게 된다.

$$ \left\{ e^{x} f(x) \right\}^{\prime} = \left\{ f(x)+f^{\prime}(x) \right\}e^{x} $$

 이 미분 식은 밑이 e인 지수함수가 곱해져 있는 꼴의 함수의 도함수를 구하는 공식으로도 잘 알려져 있다. 후술할 내용 또한 이 미분식으로부터 출발한다.

밑이 e인 지수함수와 n차 다항함수가 곱해져 있는 경우

 밑이 e인 지수함수와 n차 다항함수가 곱해져 있는 형태를 알아보기 앞서 몇 가지 예를 통해 살펴보자.

밑이 e인 지수함수와 일차함수의 곱의 꼴인 함수

$$ f^{\prime}(x) = \left( x-4 \right) e^{x} $$

 본래 부분적분법을 사용하면 아래 과정으로 이루어진다.

$$ f(x) = \left( x-4 \right) e^{x} -\int { e^{x} }\, \operatorname{d}\!x = \left( x-4 \right)e^{x} -e^{x}+C = \left( x-5 \right) e^{x} $$

 당연하게도 이 과정이 정석적인 풀이이다. 그러나 조립제법이 연산과정을 간단하게 하기위해 나왔듯이, 후술할 과정 또한 적분을 간단하게 하기 위해 나온 방법이다. 먼저 밑이 e인 지수함수가 곱해져 있는 함수의 도함수를 구하는 과정을 단순화한 형태를 알아보자. e^{x}를 미분하면 e^{x}가 나오므로 e^{x}가 곱해져 있는 꼴의 식을 미분하면 항상 e^{x}가 곱해진 형태가 반복된다. 이 과정을 단순화하여 써보자.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} & \\ & \\ \hline & \\ \end{array} \end{array} $$

 밑이 e인 지수함수를 생략하고 본래 곱해져 있는 식^[각주:1]은 위쪽에, 미분한 식^[각주:2]은 아래쪽에 쓴다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} f(x) & \\ & f^{\prime}(x) \\ \hline & \\ \end{array} \end{array} $$

 위와 같이 두 줄의 식을 그대로 더한다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} f(x) & \\ & f^{\prime}(x) \\ \hline f(x) & f^{\prime}(x) \\ \end{array} \end{array} $$

 여기서 마지막에 나오는 식이 본래의 식을 미분하여 나온 도함수에서 e^{x}에 곱해져 있는 함수이다. 이 과정을 앞의 부분적분에서 사용할 것이다.

$$ f^{\prime}(x) = \left( x-4 \right) e^{x} $$

 이 함수의 부정적분은 위 과정의 역과정을 통해 구할 수 있다. 다음은 부정적분을 구하는 과정이다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} & \\ & \\ \hline 1 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

 먼저 도함수가 나오는 부분에 각 항의 계수를 적는다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & \\ & \\ \hline 1 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

 최고차항의 계수는 항상 본래의 함수에서 나오므로 위와 같이 최고차항의 계수를 그대로 적어준다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & \\ & 1 \\ \hline 1 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

 위와 같이 최고차항을 미분하였을 때의 계수를 아래에 적어준다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & \begin{array}{|rrrr} 1 & -5 \\ & 1 \\ \hline 1 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

 위의 두 식을 더하면 도함수가 나오므로 역으로 아래의 두 식을 빼 부정적분을 구한다. 즉, 위의 도함수를 구하는 과정의 역과정을 통해 식을 구할 수 있다.

밑이 e인 지수함수와 이차함수의 곱의 꼴인 함수

 차수를 높여 이차함수의 경우로 확장해보자. 다음 예시를 보자.

$$ f^{\prime}(x) = \left( 3x^{2}+5x-4 \right) e^{x} $$

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & & \begin{array}{|rrrr} & & \\ & & \\ \hline 3 &5 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

 도함수가 나오는 부분에 각 항의 계수를 적는다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & & \begin{array}{|rrrr} 3 & & \\ & & \\ \hline 3 &5 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

 최고차항의 계수는 항상 본래의 함수에서 나오므로 최고차항의 계수를 그대로 적어준다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & & \begin{array}{|rrrr} 3 & & \\ & 6 & \\ \hline 3 &5 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

 위와 같이 최고차항을 미분하여 나오는 계수를 아래에 적어준다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & & \begin{array}{|rrrr} 3 & -1 & \\ & 6 & \\ \hline 3 &5 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

 최고차항을 미분하여 나오는 계수와 빈칸의 합이 아래 피적분식의 계수가 되도록 빈칸에 들어갈 값을 구한다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & & \begin{array}{|rrrr} 3 & -1 & \\ & 6 & -1 \\ \hline 3 &5 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} & & \begin{array}{|rrrr} 3 & -1 & -3 \\ & 6 & -1 \\ \hline 3 &5 & -4 \\ \end{array} \end{array} $$

$$ f(x) = \left( 3x^{2}-x-3 \right) e^{x} $$

 위 과정을 반복하여 부정적분을 구한다.

$$ \left\{ \left( 3x^{2}-x-3 \right) e^{x} \right\}^{\prime} = \left( 3x^{2}-x-3 \right) e^{x} +\left( 6x-1 \right) e^{x} = \left( 3x^{2}+5x-4 \right) e^{x} $$

 구한 부정적분을 다시 미분하여 검산한다. 여전히 위 방법이 통함을 알 수 있다.

 

밑이 e인 지수함수와 이차함수의 곱의 꼴인 함수

 밑이 e인 지수함수와 n차 다항함수가 곱해져 있는 형태를 일반화하면 다음과 같다.

$$ \left( a_{n} x^{n} +a_{n-1} x^{n-1} +a_{n-2} x^{n-2} + \cdots +a_{1} x +a_{0} \right) e^{x} $$

$$ \left( a_{n} \text{, } a_{n-1} \text{, } a_{n-2} \text{, } \cdots \text{, } a_{1} \text{, } a_{0} \text{는 상수, }n \text{은 자연수} \right) $$

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} & & & \cdots & & \\ & & & \cdots & & \\ \hline a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{1} & a_{0} \\ \end{array} \end{array} $$

 도함수가 나오는 부분에 각 항의 계수를 적는다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} a_{n} & & & \cdots & & \\ & & & \cdots & & \\ \hline a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{1} & a_{0} \\ \end{array} \end{array} $$

 최고차항의 계수는 항상 본래의 함수에서 나오므로 최고차항의 계수를 그대로 적어준다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} a_{n} & & & \cdots & & \\ & na_{n} & & \cdots & & \\ \hline a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{1} & a_{0} \\ \end{array} \end{array} $$

 위와 같이 최고차항을 미분하여 나오는 계수를 아래에 적어준다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} a_{n} & \left( a_{n-1}-na_{n} \right) & & \cdots & & \\ & na_{n} & & \cdots & & \\ \hline a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{1} & a_{0} \\ \end{array} \end{array} $$

 최고차항을 미분하여 나오는 계수와 빈칸의 합이 아래 피적분식의 계수가 되도록 빈칸에 들어갈 값을 구한다.

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} a_{n} & \left( a_{n-1}-na_{n} \right) & & \cdots & & \\ & na_{n} & (n-1) \left( a_{n-1}-na_{n} \right) & \cdots & & \\ \hline a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{1} & a_{0} \\ \end{array} \end{array} $$

$$ \begin{array}{cc} \begin{array}{r} \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{|rrrr} a_{n} & \left( a_{n-1}-na_{n} \right) & \left\{ a_{n-2}-(n-1) \left( a_{n-1}-na_{n} \right) \right\} & \cdots & & \\ & na_{n} & (n-1) \left( a_{n-1}-na_{n} \right) & \cdots & & \\ \hline a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{1} & a_{0} \\ \end{array} \end{array} $$

$$ \vdots $$

 위 과정을 반복하여 부정적분을 구한다. 검산은 부정적분을 미분하여 피적분함수가 나오는지 확인해보면 된다.

주의점

 이 방법은 단순히 글로 보면 뭔가 복잡하고 어려워 보일 수 있다. 그러나 직접 해보면 무척 단순한 원리에서 도출되는 과정임을 쉽게 알 수 있다. 이 방법을 쓸 때 주의할 점은 지수함수의 지수에 어떤 식이 들어가느냐이다. 이차함수가 들어갈 경우, 고등학교 과정에서는 일반적으로 적분할 수 없다. 또한 일차함수가 들어갈 경우, 일차식의 계수에 어떤 값이 들어가느냐에 따라 주의해서 사용해야한다. 가령 계수가 1인 경우에는 위의 방법을 그대로 적용하면 되지만 1이 아닌 경우에는 그 계수에 맞춰 부정적분의 계수를 조정해주어야 한다.

 

 

 

자연이 상대적으로 낮은 수준의 수학 공식으로 표현될 수 있다는 사실은 정말로 놀랍고 축복받은 일이다.

-루돌프 카르냅

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1. 지수함수를 미분한 식 [본문으로]
2. 지수함수와 곱해져 있는 식을 미분한 식 [본문으로]