미분과 적분(43)

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 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 만든 이후, 물리학은 미적분과 밀접한 관계를 맺으며 큰 발전을 해왔다. 특히 미적분은 변화하는 대상을 설명하는데 매우 효과적이어 미적분 이전 정적인 세계의 탐구에서 미적분 이후 동적인 세계의 탐구로 물리학의 설명이 넘어가는데 도움을 주었다. 혹자는 이 미적분이 만들어진 것을 가리켜 과학혁명이라고도 한다. 고등학교 물리학 I 수업에서는 사실상 처음부터 이 미적분을 사용한다. 바로 운동에 관한 수업이다.

 운동이란 시간에 따라 물체의 위치가 변화하는 것이다. 물리학에서는 이러한 운동을 설명하기 위해 이동거리, 속도 등을 문자로 치환하고, 변수로 하여 식을 세운다. 이렇게 세워진 식들은 미분과 적분을 통해 다른 여러 식을 설명할 수 있다. 여기서는 시각 t에 따라 변화하는 몇 가지 물리량으로부터 미분과 적분을 이용하여 다른 물리량을 구하는 방법에 대해 알아볼 것이다. 이에 앞서 먼저 용어를 정리하자.

용어

$$ \text{속도} = { {\text{변위}} \over {\text{시간}} } \text{, 속력} = { {\text{이동거리}} \over {\text{시간}} } \text{, 가속도} = { {\text{속도}} \over {\text{시간}} }$$

 여기서는 xy 좌표평면 상의 한 점 P의 시간 t에 따른 변화를 알아볼 것이다. 여기서 위치는 무정의 용어^[각주:1]로 사용할 것이다. 점 P가 시각 t에 따라 위치가 변하므로 처음에 위치하는 지점을 A, 나중에 위치하는 지점을 B라고 하면, 점 P가 A에서 B까지 이동하면서 경로가 생긴다. 이 경로를 점 P의 A에서 B까지의 이동거리라고 한다. 또한 점 P의 처음 위치에서 나중 위치까지의 두 지점을 최단거리로^[각주:2] 가는 경로를 위치의 변화량 또는 변위라고 한다. 이로 인해 이동거리는 크기만 있는 물리량이지만 변위는 크기와 함께 방향성을 지닌 물리량이라는 차이가 생긴다. 점 P가 점 A에 위치할 때의 시각을 a, 점 B에 위치할 때의 시각을 b라고 하자. 점 A에서 점 B까지의 이동거리를 b-a, 즉 걸린 시간으로 나누어준 것을 시각 t=a에서 시각 t=b까지의 평균 속력이라 하며, 변위를 걸린 시간으로 나누어준 것을 시각 t=a에서 시각 t=b까지의 평균 속도라고 한다. b →a일 때의 평균 속력과 평균 속도를 순간 속력과 순간 속도^[각주:3]라고 한다. 또한 순간 속도를 걸린 시간으로 나눈 것을 평균 가속도라고 한다. 마찬가지로 순간속도와 같이 극한을 취해주었을 때의 평균 가속도를 순간 가속도^[각주:4]라고 한다. 이들에 대한 설명을 보면 눈치챈 독자들도 있겠지만 이들의 관계는 미분으로 설명할 수 있다.

미분으로 이어진 각 물리량의 관계

$$ \left( \text{위치} \right)^{\prime} = \text{속도, } \left( \text{속도} \right)^{\prime} = \text{가속도} $$

 위 설명을 보면 알겠지만 순간적인 변화를 알아보기 위해 극한을 취한다. 이를 통해 순간변화율을 얻어낼 수 있는데, 이는 미분계수의 정의와 일치한다. 그렇다면 다시 말해 미분을 통해 각 물리량 간 관계를 찾을 수 있다는 뜻이다. 먼저 속도를 보자. 속도는 (변위/시간)로 표현할 수 있다. 이때, (시간)→0일 때의 극한으로 생각하면 변위는 위치의 변화량이므로 속도는 위치를 미분한 것으로 생각할 수 있다. 즉, 시각 t에서의 속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \left( \text{위치} \right)^{\prime} = \left( \text{속도} \right) $$

위치를 미분하면 속도

 다음은 가속도에 대하여 알아보자. 가속도는 (속도/시간)로 표현할 수 있다. 이때, (시간)→0일 때의 극한으로 생각하면 속도의 변화량이 분자에 가게 되므로 가속도는 속도를 미분한 것으로 생각할 수 있다. 즉, 시각 t에서의 가속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \left( \text{속도} \right)^{\prime} = \left( \text{가속도} \right) $$

속도를 미분하면 가속도

중요

$$ \left| \text{속도} \right| = \text{속력, } \left| \text{가속도} \right| = \text{가속도의 크기} $$

 위 내용을 보면 변위, 속도, 가속도라는 물리량이 나온다. 이들의 공통점은 크기와 방향성을 가진 물리량이라는 것이다. 이처럼 크기와 방향성을 가지는 물리량을 벡터라고 한다. 이들과 다른 물리량을 스칼라라고 하는데, 스칼라는 벡터와 달리 크기만을 가지는 물리량이다. 수학에서 벡터의 크기는 벡터에다가 | |^[각주:5]를 씌워 표현한다. 이때, 다음 관계가 성립한다.

$$ \left| \text{속도} \right| = \text{속력, } \left| \text{가속도} \right| = 가속도의 크기 $$

 위 두 관계를 이용하면 좌표평면 상의 한 점이 시각 t에 따라 변화할 때, 특정한 시각에서의 점의 물리량 또는 일정 시간 동안의 점의 변화를 구해내는데 사용할 수 있다. 다음 글은 이 글에 이어 미분과 적분을 활용하여 원하는 물리량을 구해내는 과정을 설명할 것이다.

 

 

 

우주는 '미분'으로 쓰여있고, 거기서부터 우리가 필요로 하는 위치를 추출해 내는 과정을 '적분'이라 부릅니다.

-김상욱 교수님

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1. 정의하지 않고 사용하는 용어 [본문으로]
2. 직선으로 [본문으로]
3. 일반적으로 특별한 언급 없이 속도라고 하면 순간 속도를 의미한다. 이는 속력 또한 마찬가지이다. [본문으로]
4. 속도와 마찬가지로 일반적으로 특별한 언급 없이 가속도라고 하면 순간 가속도를 의미한다. [본문으로]
5. 절댓값 기호 [본문으로]