삼각함수(2)

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 이전에 호도법에 대해 알아보았다. 우리가 흔히 생각하는 각의 크기의 최댓값은 2pi;, 최솟값은 0이다. 이 범위에서 정의된 각도는 일반적인 상황에서 사용하는 데에는 딱히 문제가 없어 보인다. 그러나 두 각을 빼거나 더했을 때, 그 값이 0보다 작거나 2pi;보다 클 경우 문제가 생긴다. 이를 방지하기 위해 각의 크기의 범위를 확장시켜 보자.

일반각

반직선 AB를 시초선, 반직선 BP를 동경으로 하는 각 θ

 반직선 AB를 시초선으로, 반직선 BP를 동경으로 하는 각 theta;를 좌표평면에 나타냈다. 여기서 각 theta;는 동경의 회전에 의하여 정의된다. 그러므로 회전 방향에 따라 각의 부호를 결정지을 수 있다. 또한 회전수에 따라 충분히 큰^[각주:1] 각을 정의할 수 있다. 각의 부호는 시초선을 기준으로 시계 반대 방향으로 회전^[각주:2]하는 경우를 양(+)으로, 시계 방향으로 회전하는 경우를 음(-)으로 정한다. 자. 이제 각의 범위가 -2pi; 부터 2pi;까지 확장했다. 다음은 실수 전제로 확장해보자.

 500º라는 각을 어떻게 나타낼 수 있을까? 500º=360º+140º로 표현할 수 있고, 이는 동경이 시계 반대 방향으로 한 바퀴 회전한 후, 시계 반대 방향으로 140º에 해당되는 각만큼 회전했다고 볼 수 있다. 이렇게 표현한 각은 140º와 500º에 해당하는 두 각이 나타내는 각도는 동일함을 알 수 있다. 마찬가지로 800º에 해당되는 각 또한 2×360º+80º이므로 시계 반대 방향으로 두 바퀴 회전한 후, 시계 반대 방향으로 80º에 해당되는 각만큼 회전한 것으로 볼 수 있으며, 800º와 80º에 해당하는 각도는 같음을 알 수 있다. 즉, 회전수는 각에 영향을 끼치지 못함을 알 수 있다. 이를 다음의 수식으로 정리할 수 있다.

$$ \alpha = n \times 360^{\circ} +\theta \left( n \text{은 정수, } 0^{\circ} \le \theta < 360^{\circ} \right) $$

이를 호도법으로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \alpha = 2n\pi +\theta \left( n \text{은 정수, } 0 \le \theta < 2\pi \right) $$

 여기서 alpha;를 일반적으로 나태낸 각이라고 하여 일반각이라 한다. theta;는 일반각 alpha;가 나타내는 각을 표현한다. 일반각을 표현한 식에서 부호는 회전 방향을 결정하며, |n|은 회전수를 의미한다. 이를 통해 우리는 모든 실수의 범위에서 각을 정의할 수 있게 되었다. 이는 호도법을 통해 좌표평면 상에서 모든 실수 범위에서 삼각비를 표현할 수 있게 해준다.

 

 

 

신은 언제나 기하학을 연구한다.

-플라톤

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1. 2pi;를 초과하는 [본문으로]
2. 반시계 방향으로 회전, 왼쪽으로 회전 [본문으로]