미분과 적분(37)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 미분을 이용하면 함수의 그래프를 결정할 수 있다. 이를 방정식과 부등식을 해결하는데 이용할 수 있다.

방정식

$$ \text{①: 방정식 } f(x)=0 \text{의 실근의 개수} $$
$$ \Longleftrightarrow \text{함수 } y=f(x) \text{의 그래프와 } x \text{축의 교점의 개수} $$
$$ \text{②: 방정식 } f(x) = g(x) \text{의 실근의 개수} $$
$$ \Longleftrightarrow \text{함수 } y=f(x) \text{의 그래프와 함수 } y=g(x) \text{의 그래프의 교점의 개수} $$

 우리는 함수 y=f(x)의 그래프와 x축과의 교점을 구하거나 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점을 구할 때 방정식을 사용한다. 그 말인즉슨 방정식을 풀어내기 위해 함수의 그래프를 이용할 수 있다. 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 교점의 x좌표는 x에 대한 방정식 f(x)=g(x)의 실근의 값과 같다. 함수의 그래프를 그리면 근의 존재를 파악할 수 있고, 이는 좀 더 편하게 근의 개수를 파악할 수 있게 해준다. 예시를 통해 알아보자.

$$ 4\sin{x}=x $$

 이 방정식의 실근은 두 함수 y=4sin x, y=x의 교점의 x좌표로 이해할 수 있다. 이 두 함수를 좌표평면에 나타내면 다음과 같이 나타난다.

이때, 두 함수는 교점을 3개 가진다. 그러므로 이 방정식은 실근을 3개 가짐을 알 수 있다.

 위의 경우는 식이 간단하여 쉽게 알 수 있지만 식이 복잡한 경우에는 증감표를 그린 뒤 함수의 계형을 결정하는 것이 명확하게 알 수 있다..

부등식

①: 어떤 구간에서 부등식 f(x)>0이 성립하면, 그 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프가 항상 x축의 위쪽에 있다.
②: 어떤 구간에서 부등식 f(x)<0이 성립하면, 그 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프가 항상 x축의 아래쪽에 있다.
두 명제 ①, ②에서 역은 성립한다.
③: 어떤 구간에서 부등식 f(x)>g(x)가 성립하면, 그 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프가 항상 함수 y=g(x)의 그래프의 위쪽에 있다.
④: 어떤 구간에서 부등식 f(x)<g(x)가 성립하면, 그 구간에서 함수 y=f(x)의 그래프가 항상 y=g(x)의 그래프의 아래쪽에 있다.
두 명제 ③, ④에서 역은 성립한다.

Case ①

 주어진 구간에서 부등식 f(x)>0이 성립하면 함수 y=f(x)가 최솟값이 존재할 경우, (f(x)의 최솟값)>0이면 부등식이 성립한다. 이때, f(x)의 최솟값이 양수이면 함수의 그래프는 x축의 위쪽에 존재할 수 밖에 없다.

$$ y=4\sin{x}+5 $$

 또한 x>a에서 최솟값이 존재하지 않는 함수 f(x)의 경우, x>a에서 함수 f(x)가 증가하고 f(a) ≥0이거나 x>a에서 함수 f(x)가 감소하고 x→∞일 때, f(x)→0이면 부등식이 성립한다.

$$ y=e^{-x} $$

Case ②

 Case ①과 반대로 주어진 구간에서 부등식 f(x)<0이 성립하면 함수 y=f(x)의 최댓값을 조사한다. 이때 (f(x)의 최댓값)<0이면 주어진 구간에서 부등식이 성립한다. 이때, 함수의 최댓값이 음수이면 함수의 그래프는 항상 x축의 아래쪽에 위치한다.

$$ y=-x^{2}+4x-5 $$

 또한 최댓값이 존재하지 않는 함수 f(x)의 경우, x>a에서 함수 f(x)가 감소하고 f(a) ≥0이거나 x>a에서 함수 f(x)가 증가하고 x→∞일 때, f(x)→0이면 부등식이 성립한다.

$$ y=-e^{-x} $$

Case ③, Case ④

 이 두 경우는 위의 Case ①, Case ②로 바꿀 수 있다. h(x)=f(x)-g(x)라 하면 두 경우 모두 h(x)로 표현된 위의 경우가 되므로 동일하게 해석할 수 있다. 그러나 좌표평면 상에서 해석할 때는 식이 복잡해져 힘들 수 있다. 그러므로 이들을 해석하는 방법이 필요하다. 해석하는 방법은 딱히 다르지 않다.

$$ y=x^{3}-5x-2 \text{, } y=x^{2}-5 $$

 기본적으로 두 부등식 f(x)>g(x), f(x)<g(x)는 두 함수 f(x)와 g(x)의 함수값을 비교하는 것으로 볼 수 있다. 위 그림처럼 좌표평면 상에 함수의 그래프를 나타내면 함수값의 대소비교를 수월하게 할 수 있다. 즉, 부등식을 풀 때 그래프를 그려서 풀면 원하는 정보를 손쉽게 얻어낼 수 있다. 특히 이를 여러 함수 간의 관계^[각주:1]가 변하는 조건 또한 수월하게 파악할 수 있다.

 

 

 

수학은 최고의 결정권자이다. 일단 확정되면 더 이상의 항소는 없다.

-토비아스 단치히

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1. 한 점에서 만난다, 교점이 존재하지 않는다 등 [본문으로]