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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(20) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 합성함수의 미분 공식을 유도하였다. 네 번째 미분 공식은 음함수의 미분법이다. 여기서 음함수라는 용어를 처음 들어봤을 독자들이 많을 것이므로 먼저 용어를 정리해 보자. 음함수 우리가 지금까지 흔히 본 함수는 y=f(x)의 꼴로 되어 있다. 이렇게 독립변수와 종속변수가 분리되어 나타낸 함수를 양함수라고 한다. 이와 달리 음함수는 f(x, y)=0의 꼴로 독립변수와 종속변수가 분리되지 않은 상태로 나타낸 함수이다.

3 x + 4 y - 6 = 0

이러한 형태의 음함수는 식을 정리하여 양함수 꼴로 나타낸 후 미분을 하면 된다. 그러나.. 더보기

미분과 적분(19) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 몫의 미분 공식을 유도하였다. 세 번째 미분 공식은 합성함수의 미분법이다. 합성함수의 미분법은 필자가 생각하지에 6가지 미분법 중에 가장 편리하고, 또 가장 중요하다고 생각하는 미분법이다. 합성함수의 미분법은 Chain Rule, 즉 연쇄법칙에 의해 성립함을 보일 수 있다. 다음 유도 과정을 보자.

h (x) = f (u), u = g (x)

합성함수의 미분-연쇄법칙 $$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!u} } \cdot { {\operatorna.. 더보기

미분과 적분(18) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 곱의 미분 공식을 유도하였다. 두 번째 미분 공식은 몫의 미분법이다. 몫의 미분법은 분모에 변수가 들어있는 형태의 함수를 미분할 때 사용한다. 이때 함수의 형태가 두 함수가 나누어진 형태로 몫을 가지는데 이를 미분한다고 하여 몫의 미분법이라 부른다. 다음은 몫의 미분법을 유도하는 과정이다. 몫의 미분 유도

g (x) = \frac{1}{f (x)} (f (x) \neq 0)

$$ \begin{matrix} g^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ {g(x+h)-g(x)} \over {h}.. 더보기

미분과 적분(17) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이 글을 포함하여 6번의 글에서 각각 6가지 미분법에 대해 다룰 것이다. 이 6가지 미분법은 공식으로 외워두는 것이 이후 문제를 풀 때 도움이 된다. 굳이 유도해서 사용하면 시간도 오래 걸리고, 문제를 제 시간 안에 풀기 힘들다. 먼저 여기서는 곱의 미분법에 대해 다룰 것이다. 곱의 미분법은 두 함수가 곱해진 형태를 가지는 함수를 미분하는 방법(또는 공식)을 말한다. 두 함수 f(x), g(x)가 곱해진 형태의 함수 h(x)의 도함수 h'(x)의 형태를 유도해보자. $$ f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0}{ {.. 더보기

미분과 적분(16) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전에 n차 다항함수의 미분에 대해 다루었다. 이를 통해 n차 다항함수를 미분하였을 때 나타나는 식의 형태를 공식화할 수 있었고, 이는 우리가 도함수를 빠르게 구할 수 있게 해 주었다. 도함수를 통해 우리가 무엇을 알 수 있기에 구하는 것일까? 도함수는 미분계수를 함수화한 것으로 이해할 수 있다. 바꿔 말해 어떤 지점에서의 순간변화율을 일반화하여 함수로 표현했다고 할 수 있다. 즉 정의역이 변화함에 따라 함수가 어떻게 변화하는지 추정할 수 있게 도와준다. 특히 고등학교에서 배우는 대부분의 함수는 어떤 값에서의 미분계수가 그 지점에.. 더보기

미분과 적분(15) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 연속함수가 가지는 성질에 대해 알아보았다. 미분가능한 함수 또한 중간값 정리와 유사한 성질을 가진다. 여기서는 이러한 성질에 대해 알아볼 것이다. 롤의 정리 롤의 정리는 다음과 같이 서술할 수 있다.

닫힌구간 [a, b] 에서 미분가능한 함수 f (x) 에 대하여

f (a) = f (b) 이면 f^{'} (c) = 0 인 c 가 열린구간 (a, b) 안에 존재한다.

간단히.. 더보기

미분과 적분(14) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전에 했어야 하는 주제이나 깜빡하고 빼먹은 내용이 있다. 고등학교 수학 수업에서는 사잇값 정리라고 배우는 중간값 정리이다. 여기서는 중간값 정리에 대해 알아볼 것이다. 중간값 정리는 주어진 구간에서 연속인 함수의 성질 중 하나를 말한다. 중간값 정리는 다음과 같이 서술된다.

연속함수 f : [a, b] \to R 에 대하여

$$ f([a \text{, } b]) \supseteq [f(a) \text{, } f(b)] \cup [f(b) \text{, } .. 더보기

미분과 적분(13) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 도함수와 고계도함수에 대하여 알아보았다. 본격적으로 미분법에 대해 알아보겠다. 먼저 간단한 n차 다항함수의 미분에 대해 알아보자.

f (x) = x^{n}, f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

i) 상수함수(n=0)일때

f (x) = 1

$$ \begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(a+h)-f(a)} \over {h} } } \ &=& \lim_{h \to 0.. 더보기

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