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지금까지 지수를 유리수 범위에서 정의하여보았다. 우리가 흔히 쓰는 수 체계는 실수이므로 지수 역시 실수의 범위에서 정의해보고자 한다.
지수 - 실수
실수를 나누면 크게 유리수와 무리수로 나눌 수 있다. 우리가 이미 유리수 범위에서의 지수는 정의했으므로 무리수 범위에서의 지수만을 정의해주면 된다. 아래의 예를 통해 알아보자.
\( 2^{\sqrt{2}} \)
\( 2^{\sqrt{2}} \)의 값을 정의하기 위해서 \( \sqrt{2} \)의 근사를 이용할 것이다. \( \sqrt{2} = 1.41421356237 \cdots \)이다. 그러므로 \( 2^{\sqrt{2}} \)의 값은 아래 구간 사이에 있다고 할 수 있다.
\( 2^{1} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{2} \)
\( 2^{1.4} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1.5} \)
\( 2^{1.41} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1.42} \)
\( 2^{1.414} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1.415} \)
\( \vdots \)
\( 2^{1.414213} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1.414214} \)
\( \vdots \)
이 근사를 한없이 반복하다 보면 결국 그 값에 가까워질 것이다. 그러므로 우리는 아래와 같은 극한을 생각해 \( 2^{\sqrt{2}} \)를 정의할 수 있다.
\( \lim_{n \to \infty}{r_{n}} = \sqrt{2} \)인 수열 \( \left\{ r_{n} \right\} \)에 대하여 \( 2^{\sqrt{2}} = \lim_{n \to \infty}{2^{r_{n}}} \)
그러므로 실수 지수는 다음의 극한으로 정의할 수 있겠다.
임의의 양수 \( a \)와 임의의 실수 \( r \)에 대하여
\( \lim_{n \to \infty}{ r_{n} } = r \)인 수열 \( \left\{ r_{n} \right\} \)이 존재할 때,
\( a^{r} = \lim_{n \to \infty}{ a^{r_{n}} } \)으로 정의한다.
1 더하기 1이 2라는 우리의 믿음은 깨어지지 않을 것이다.
-버트란드 러셀