지수와 로그(7)

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 지금까지 지수를 유리수 범위에서 정의하여보았다. 우리가 흔히 쓰는 수 체계는 실수이므로 지수 역시 실수의 범위에서 정의해보고자 한다.

지수 - 실수

 실수를 나누면 크게 유리수와 무리수로 나눌 수 있다. 우리가 이미 유리수 범위에서의 지수는 정의했으므로 무리수 범위에서의 지수만을 정의해주면 된다. 아래의 예를 통해 알아보자.

$2^{\sqrt{2}}$

 $2^{\sqrt{2}}$의 값을 정의하기 위해서 $\sqrt{2}$의 근사를 이용할 것이다. $\sqrt{2}=1.41421356237\cdots$이다. 그러므로 $2^{\sqrt{2}}$의 값은 아래 구간 사이에 있다고 할 수 있다.

$2^1<2^{\sqrt{2}}<2^2$

$2^{1.4}<2^{\sqrt{2}}<2^{1.5}$

$2^{1.41}<2^{\sqrt{2}}<2^{1.42}$

$2^{1.414}<2^{\sqrt{2}}<2^{1.415}$

$⋮$

$2^{1.414213}<2^{\sqrt{2}}<2^{1.414214}$

$⋮$

 이 근사를 한없이 반복하다 보면 결국 그 값에 가까워질 것이다. 그러므로 우리는 아래와 같은 극한을 생각해 $2^{\sqrt{2}}$를 정의할 수 있다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}_n=\sqrt{2}$인 수열 $\left\{r_n\right\}$에 대하여 $2^{\sqrt{2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{2}^{r_n}$

 그러므로 실수 지수는 다음의 극한으로 정의할 수 있겠다.

임의의 양수 $a$와 임의의 실수 $r$에 대하여

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}_n=r$인 수열 $\left\{r_n\right\}$이 존재할 때,

$a^r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{r_n}$으로 정의한다.

 

 

 

1 더하기 1이 2라는 우리의 믿음은 깨어지지 않을 것이다.

-버트란드 러셀

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