※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.
이전 글1에서 지수를 임의의 정수 범위까지 확장해보았다. 본문에서는 유리수 범위에서의 지수를 정의할 것이다.
지수의 확장 - 유리수 지수
유리수 지수로의 확장은 거듭제곱근을 이용하는 것으로 시작된다. 먼저 \( x^{2} = 3^{4} \)이라는 방정식을 보면, 이 방정식의 양수인 해를 구하면 \( x = 3^{2} \)이 나온다. 또한 방정식 \( x^{3} = 3^{3} \)의 실수인 해를 구하면 \( x = 3 \)이다. 이 두 방정식의 해는 다시 아래의 등식으로 표현할 수 있다.
$$ x^{ 2 \times \frac{1}{2} } = 3^{ 4 \times \frac{1}{2} } \text{, } x^{ 3 \times \frac{1}{3} } = 3^{ 3 \times \frac{1}{3} } $$
즉, 이는 각 등식의 양변에 \( \frac{1}{2} \)제곱, \( \frac{1}{3} \)제곱을 해준 것과 동일하다고 볼 수 있다. 또 다른 방정식에서 이를 동일하게 적용해보자.
$$ x^{2} = 2 \to x^{ 2 \times \frac{1}{2} } = 2^{ 1 \times \frac{1}{2} } $$
이 방정식에서 양수인 해는 \( \sqrt{2} \)이다.
$$ x^{5} = 2^{2} \to x^{ 5 \times \frac{1}{5} } = 2^{ 2 \times \frac{1}{5} } $$
이 방정식에서 실수인 해는 \( \sqrt[5]{2^{2}} \)이다.
두 예시를 보면 \( 2^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{2} \), \( 2^{ \frac{2}{5} } = \sqrt[5]{2^{2}} \)라고 할 수 있겠다. 그러므로 유리수 지수는 다음과 같이 정의한다.
서로소인 임의의 두 정수 \( p \), \( q \)와 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)에 대하여
$$ a^{ \frac{q}{p} } = \sqrt[p]{a^{q}} $$
수는 순전히 우리의 정신적 산물이다.
-가우스