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지수법칙이 무엇인지는 중학교에서 배웠으리라 생각하고, 간단히 언급한 후 넘어갈 것이다.. 본문과 지수법칙을 주제로 하는 그 이후의 글에서는 지수법칙의 확장에 대해 다룰 것이다. 먼저 지수 법칙이란 임의의 실수 aa와 임의의 두 자연수 m, n에 대하여 성립하는 다음 연산을 말한다.
지수법칙
임의의 실수 a와 두 임의의 자연수 m, n에 대하여
am×an=am+n
(am)n=amn
am÷an={am−n(m>n)1(m=n)1an−m(m<n)
본문을 포함한 이후의 글에서 이러한 지수법칙이라는 연산 법칙을 양의 정수를 넘어 모든 정수, 유리수, 실수 범위로 확장해 나갈 것이다. 먼저 지수법칙을 모든 정수의 범위까지 확장해보자.
지수법칙의 확장 - 임의의 정수
지수법칙을 임의의 정수 범위로 확장하기에 앞서 먼저 지수법칙 중 나누기에 관한 경우를 보자. 이는 양의 정수에서 3가지 경우로 나뉘어 있어 뭔가 식이 깔끔해 보이지 않는다. 이 식을 다듬어 지수법칙을 확장할 것이다.
두 자연수 m, n에 대하여 m>n인 경우에는 임의의 실수 a에 대하여 am÷an=am−n임은 자명하다. 그러므로 식을 깔끔하게 만들어 주기 위해 m=n, m<n인 경우의 지수법칙을 m>n인 경우와 같도록 지수를 정의해 줄 것이다. 먼저 m=n인 경우를 보자.
지수법칙 am÷an=am−n에 대하여 m=n이라고 하면 am÷an=a0가 된다. 이때, am÷an=1이므로 0이 아닌 임의의 실수 a에 대하여 a0=1로 정의한다.
다음은 m<n인 경우를 보자. 지수법칙 am÷an=am−n에 대하여 m<n라고 하면 am÷an=am−n이 된다. 임의의 자연수 k에 대하여 m−n=−k라고 둘 수 있으므로 am÷an=a−k이다. 이때, am÷an=1an−m=1ak이므로 0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 자연수 k에 대하여 a−k=1ak로 정의한다.
그러나 여기까지만 보면 지수법칙 중 일부 경우에 대해서만 성립하도록 지수법칙을 정의한 것과 다를 바 없다. 그러므로 이와 같이 지수를 정의할 때, 다른 경우의 지수법칙이 음의 정수와 0이 포함되는 임의의 정수 범위에서 성립하는지에 대해서도 알아봐야 한다. 이 정의를 바탕으로 하여 임의의 정수 범위로 지수법칙을 확장해보자.
음이 아닌 정수로의 확장
am×an=am+n
0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 자연수 p, q에 대하여 지수법칙 ap×aq=ap+q이 성립함이 알려져 있다. 이 식에 p=0, q=0을 대입하면 a0×a0=a0=1이고, a0×a0=1×1=1이므로 지수법칙 ap×aq=ap+q이 성립한다. 또한 이 식에 q=0을 대입하면 ap×a0=ap+0=ap이다. 이때, ap×a0=ap×1=ap이므로 0이 아닌 임의의 실수 a와 음이 아닌 임의의 정수 p, q에 대하여 지수법칙 ap×aq=ap+q이 성립한다.
(am)n=amn
0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 자연수 p, q에 대하여 지수법칙 (ap)q=apq이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 (ap)q=apq에 p=0을 대입하면 1q=a0×q=1이므로 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다. 또한 지수법칙 (ap)q=apq에 q=0을 대입하면 (ap)0=ap×0=1이다. 이때, (ap)0=1이므로 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다. 또한 지수법칙 (ap)q=apq에 p=0, q=0을 대입하면 10=a0×0=1이므로 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 a와 음이 아닌 임의의 정수 p, q에 대하여 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다.
am÷an=am−n
0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 자연수 p, q에 대하여 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 ap÷aq=ap−q에 p=0, q=0을 대입하면 a0÷a0=a0=1이므로 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다. 또한 지수법칙 ap÷aq=ap−q에 p=0을 대입하면 a0÷aq=a−q이다. 이때, a0÷aq=1aq=a−q이므로 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다. 또한 지수법칙 ap÷aq=ap−q에 q=0을 대입하면 ap÷a0=ap이고 ap÷a0=ap÷1=ap이므로 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 a와 음이 아닌 임의의 정수 p, q에 대하여 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다.
임의의 정수로의 확장
am×an=am+n
0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 자연수 p, q에 대하여 지수법칙 ap×aq=ap+q이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 ap×aq=ap+q에 p=−p′ (p′은 자연수), q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 a−p′×a−q′=a−p′−q′=a−(p′+q′)=1ap′+q′이다. 이때, a−p′×a−q′=1ap′×1aq′=1ap′×aq′=1ap′+q′이므로 지수법칙 ap×aq=ap+q이 성립한다. 또한 지수법칙 ap×aq=ap+q에 p=0, q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 a0×a−q′=a−q′이다. 이때, a0=1이므로 지수법칙 ap×aq=ap+q이 성립한다. 또한 지수법칙 ap×aq=ap+q에 q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 ap×a−q′=ap−q′이다. 이때, ap×a−q′=ap×1aq′=ap÷aq′=ap−q′이므로 지수법칙 ap×aq=ap+q이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 정수 p, q에 대하여 지수법칙 ap×aq=ap+q이 성립한다.
(am)n=amn
0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 자연수 p, q에 대하여 지수법칙 (ap)q=apq이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 (ap)q=apq에 p=0, q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 (a0)−q′=a0이다. 이때, a0=1이므로 (a0)−q′=1−q′=1이다. 따라서 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다. 또한 지수법칙 (ap)q=apq에 p=−p′ (p′은 자연수), q=0을 대입하면 (a−p′)0=a0이다. 이때, a0=1이므로 (a−p′)0=1이다. 따라서 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다. 또한 지수법칙 (ap)q=apq에 p=−p′ (p′은 자연수)을 대입하면 (a−p′)q=a−p′q이다. 이때, (a−p′)q=(1ap′)q=1ap′q=a−p′q이므로 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다. 또한 지수법칙 (ap)q=apq에 q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 (ap)−q′=a−pq′이다. 이때, (ap)−q′=1(ap)q′=1apq′=a−pq′이므로 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다. 또한 지수법칙 (ap)q=apq에 p=−p′ (p′은 자연수), q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 (a−p′)−q′=apq이다. 이때, (a−p′)−q′=(1ap′)−q′=1(1ap′)q′=11ap′q′=ap′q′이므로 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 정수 p, q에 대하여 지수법칙 (ap)q=apq이 성립한다.
am÷an=am−n
0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 자연수 p, q에 대하여 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 ap÷aq=ap−q에 p=0, q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 a0÷a−q′=aq′이다. 이때, a0÷a−q′=1×1a−q′=aq′이므로 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다. 또한 지수법칙 ap÷aq=ap−q에 p=−p′ (p′은 자연수), q=0을 대입하면 a−p′÷a0=a−p′이다. 이때, a−p′÷a0=a−p′÷1=a−p′이므로 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다. 또한 지수법칙 ap÷aq=ap−q에 p=−p′ (p′은 자연수)을 대입하면 a−p′÷aq=a−p′−q이다. 이때, a−p′÷aq=a−p′×1aq=a−p′×a−q=a−p′−q이므로 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다. 또한 지수법칙 ap÷aq=ap−q에 q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 ap÷a−q′=ap+q′이다. 이때, ap÷a−q′=ap×1a−q′=ap×aq′=ap+q′이므로 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다. 또한 지수법칙 ap÷aq=ap−q에 p=−p′ (p′은 자연수), q=−q′ (q′은 자연수)을 대입하면 a−p′÷a−q′=a−p′+q′이다. 이때, a−p′÷a−q′=a−p′÷1aq′=a−p′×aq′=a−p′+q′이므로 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 a와 임의의 두 정수 p, q에 대하여 지수법칙 ap÷aq=ap−q이 성립한다.
만물에서 숫자를 제거해보라. 그러면 모든 것은 사라진다.
-성 이시도루스