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지수법칙이 무엇인지는 중학교에서 배웠으리라 생각하고, 간단히 언급한 후 넘어갈 것이다.. 본문과 지수법칙을 주제로 하는 그 이후의 글에서는 지수법칙의 확장에 대해 다룰 것이다. 먼저 지수 법칙이란 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 자연수 \( m \), \( n \)에 대하여 성립하는 다음 연산을 말한다.
지수법칙
임의의 실수 \( a \)와 두 임의의 자연수 \( m \), \( n \)에 대하여
$$ a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} $$
$$ \left( a^{m} \right)^{n} = a^{mn} $$
$$ a^{m} \div a^{n} = \begin{cases} a^{m-n} & \left( m>n \right) \\ 1 & \left( m = n \right) \\ \frac{1}{a^{n-m}} & \left( m<n \right) \end{cases} $$
본문을 포함한 이후의 글에서 이러한 지수법칙이라는 연산 법칙을 양의 정수를 넘어 모든 정수, 유리수, 실수 범위로 확장해 나갈 것이다. 먼저 지수법칙을 모든 정수의 범위까지 확장해보자.
지수법칙의 확장 - 임의의 정수
지수법칙을 임의의 정수 범위로 확장하기에 앞서 먼저 지수법칙 중 나누기에 관한 경우를 보자. 이는 양의 정수에서 3가지 경우로 나뉘어 있어 뭔가 식이 깔끔해 보이지 않는다. 이 식을 다듬어 지수법칙을 확장할 것이다.
두 자연수 \( m \), \( n \)에 대하여 \( m>n \)인 경우에는 임의의 실수 a에 대하여 \( a^{m} \div a^{n} = a^{m-n} \)임은 자명하다. 그러므로 식을 깔끔하게 만들어 주기 위해 \( m=n \), \( m<n \)인 경우의 지수법칙을 \( m>n \)인 경우와 같도록 지수를 정의해 줄 것이다. 먼저 \( m=n \)인 경우를 보자.
지수법칙 \( a^{m} \div a^{n} = a^{m-n} \)에 대하여 \( m=n \)이라고 하면 \( a^{m} \div a^{n} = a^{0} \)가 된다. 이때, \( a^{m} \div a^{n} = 1 \)이므로 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)에 대하여 \( a^{0} = 1 \)로 정의한다.
다음은 \( m<n \)인 경우를 보자. 지수법칙 \( a^{m} \div a^{n} = a^{m-n} \)에 대하여 \( m<n \)라고 하면 \( a^{m} \div a^{n} = a^{m-n} \)이 된다. 임의의 자연수 \( k \)에 대하여 \( m-n = -k \)라고 둘 수 있으므로 \( a^{m} \div a^{n} = a^{-k} \)이다. 이때, \( a^{m} \div a^{n} = \frac{1}{a^{n-m}} = \frac{1}{a^{k}} \)이므로 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 자연수 \( k \)에 대하여 \( a^{-k} = \frac{1}{a^{k}} \)로 정의한다.
그러나 여기까지만 보면 지수법칙 중 일부 경우에 대해서만 성립하도록 지수법칙을 정의한 것과 다를 바 없다. 그러므로 이와 같이 지수를 정의할 때, 다른 경우의 지수법칙이 음의 정수와 0이 포함되는 임의의 정수 범위에서 성립하는지에 대해서도 알아봐야 한다. 이 정의를 바탕으로 하여 임의의 정수 범위로 지수법칙을 확장해보자.
음이 아닌 정수로의 확장
$$ a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} $$
0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 자연수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)이 성립함이 알려져 있다. 이 식에 \( p=0 \), \( q=0 \)을 대입하면 \( a^{0} \times a^{0} = a^{0} = 1 \)이고, \( a^{0} \times a^{0} = 1 \times 1 = 1 \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)이 성립한다. 또한 이 식에 \( q=0 \)을 대입하면 \( a^{p} \times a^{0} = a^{p+0} = a^{p} \)이다. 이때, \( a^{p} \times a^{0} = a^{p} \times 1 = a^{p} \)이므로 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 음이 아닌 임의의 정수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)이 성립한다.
$$ \left( a^{m} \right)^{n} = a^{mn} $$
0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 자연수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)에 \( p = 0 \)을 대입하면 \( 1^{q} = a^{0 \times q} = 1 \)이므로 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)에 \( q = 0 \)을 대입하면 \( \left( a^{p} \right)^{0} = a^{p \times 0} = 1 \)이다. 이때, \( \left( a^{p} \right)^{0} = 1 \)이므로 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)에 \( p=0 \), \( q=0 \)을 대입하면 \( 1^{0} = a^{0 \times 0} = 1 \)이므로 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 음이 아닌 임의의 정수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다.
$$ a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$$
0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 자연수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)에 \( p = 0 \), \( q = 0 \)을 대입하면 \( a^{0} \div a^{0} = a^{0} = 1 \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)에 \( p=0 \)을 대입하면 \( a^{0} \div a^{q} = a^{-q} \)이다. 이때, \( a^{0} \div a^{q} = \frac{1}{a^{q}} = a^{-q} \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)에 \( q=0 \)을 대입하면 \( a^{p} \div a^{0} = a^{p} \)이고 \( a^{p} \div a^{0} = a^{p} \div 1 = a^{p} \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 음이 아닌 임의의 정수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다.
임의의 정수로의 확장
$$ a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} $$
0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 자연수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)에 \( p=-p^{\prime} \) (\( p^{\prime} \)은 자연수), \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( a^{-p^{\prime}} \times a^{-q^{\prime}} = a^{-p^{\prime}-q^{\prime}} = a^{-\left( p^{\prime} +q^{\prime} \right)} = \frac{ 1 }{ a^{ p^{\prime} +q^{\prime} } } \)이다. 이때, \( a^{-p^{\prime}} \times a^{-q^{\prime}} = \frac{ 1 }{ a^{p^{\prime}} } \times \frac{ 1 }{ a^{q^{\prime}} } = \frac{ 1 }{ a^{p^{\prime}} \times a^{q^{\prime}} } = \frac{ 1 }{ a^{ p^{\prime} +q^{\prime} } } \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)에 \( p=0 \), \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( a^{0} \times a^{-q^{\prime}} = a^{-q^{\prime}} \)이다. 이때, \( a^{0} = 1 \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)에 \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( a^{p} \times a^{-q^{\prime}} = a^{p-q^{\prime}} \)이다. 이때, \( a^{p} \times a^{-q^{\prime}} = a^{p} \times \frac{ 1 }{ a^{q^{\prime}} } = a^{p} \div a^{q^{\prime}} = a^{p-q^{\prime}} \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 정수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( a^{p} \times a^{q} = a^{p+q} \)이 성립한다.
$$ \left( a^{m} \right)^{n} = a^{mn} $$
0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 자연수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)에 \( p=0 \), \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( \left( a^{0} \right)^{-q^{\prime}} = a^{0} \)이다. 이때, \( a^{0} = 1 \)이므로 \( \left( a^{0} \right)^{-q^{\prime}} = 1^{-q^{\prime}} = 1 \)이다. 따라서 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)에 \( p=-p^{\prime} \) (\( p^{\prime} \)은 자연수), \( q=0 \)을 대입하면 \( \left( a^{-p^{\prime}} \right)^{0} = a^{0} \)이다. 이때, \( a^{0} = 1 \)이므로 \( \left( a^{-p^{\prime}} \right)^{0} = 1 \)이다. 따라서 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)에 \( p=-p^{\prime} \) (\( p^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( \left( a^{-p^{\prime}} \right)^{q} = a^{-p^{\prime}q} \)이다. 이때, \( \left( a^{-p^{\prime}} \right)^{q} = \left( \frac{ 1 }{ a^{p^{\prime}} } \right)^{q} = \frac{ 1 }{ a^{p^{\prime}q} } = a^{-p^{\prime}q} \)이므로 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)에 \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( \left( a^{p} \right)^{-q^{\prime}} = a^{-pq^{\prime}} \)이다. 이때, \( \left( a^{p} \right)^{-q^{\prime}} = \frac{ 1 }{ \left( a^{p} \right)^{q^{\prime}} } = \frac{ 1 }{ a^{pq^{\prime}} } = a^{-pq^{\prime}} \)이므로 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)에 \( p=-p^{\prime} \) (\( p^{\prime} \)은 자연수), \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( \left( a^{-p^{\prime}} \right)^{-q^{\prime}} = a^{pq} \)이다. 이때, \( \left( a^{-p^{\prime}} \right)^{-q^{\prime}} = \left( \frac{ 1 }{ a^{p^{\prime}} } \right)^{-q^{\prime}} = \frac{ 1 }{ \left( \frac{ 1 }{ a^{p^{\prime}} } \right)^{q^{\prime}} } = \frac{ 1 }{ \frac{ 1 }{ a^{p^{\prime}q^{\prime}} } } = a^{p^{\prime}q^{\prime}} \)이므로 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 정수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( \left( a^{p} \right)^{q} = a^{pq} \)이 성립한다.
$$ a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$$
0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 자연수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립함이 알려져 있다. 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)에 \( p=0 \), \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( a^{0} \div a^{-q^{\prime}} = a^{q^{\prime}} \)이다. 이때, \( a^{0} \div a^{-q^{\prime}} = 1 \times \frac{ 1 }{ a^{-q^{\prime}} } = a^{q^{\prime}} \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)에 \( p=-p^{\prime} \) (\( p^{\prime} \)은 자연수), \( q=0 \)을 대입하면 \( a^{-p^{\prime}} \div a^{0} = a^{-p^{\prime}} \)이다. 이때, \( a^{-p^{\prime}} \div a^{0} = a^{-p^{\prime}} \div 1 = a^{-p^{\prime}} \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)에 \( p=-p^{\prime} \) (\( p^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( a^{-p^{\prime}} \div a^{q} = a^{-p^{\prime}-q} \)이다. 이때, \( a^{-p^{\prime}} \div a^{q} = a^{-p^{\prime}} \times \frac{ 1 }{ a^{q} } = a^{-p^{\prime}} \times a^{-q} = a^{-p^{\prime} -q} \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)에 \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( a^{p} \div a^{-q^{\prime}} = a^{p+q^{\prime}} \)이다. 이때, \( a^{p} \div a^{-q^{\prime}} = a^{p} \times \frac{ 1 }{ a^{-q^{\prime}} } = a^{p} \times a^{q^{\prime}} = a^{p+q^{\prime}} \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다. 또한 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)에 \( p=-p^{\prime} \) (\( p^{\prime} \)은 자연수), \( q=-q^{\prime} \) (\( q^{\prime} \)은 자연수)을 대입하면 \( a^{-p^{\prime}} \div a^{-q^{\prime}} = a^{-p^{\prime}+q^{\prime}} \)이다. 이때, \( a^{-p^{\prime}} \div a^{-q^{\prime}} = a^{-p^{\prime}} \div \frac{ 1 }{ a^{q^{\prime}} } = a^{-p^{\prime}} \times a^{q^{\prime}} = a^{-p^{\prime}+q^{\prime}} \)이므로 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다. 따라서 0이 아닌 임의의 실수 \( a \)와 임의의 두 정수 \( p \), \( q \)에 대하여 지수법칙 \( a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} \)이 성립한다.
만물에서 숫자를 제거해보라. 그러면 모든 것은 사라진다.
-성 이시도루스
