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무리함수
무리함수는 무리식, 즉 다항식에 근호를 씌운 식으로 표현할 수 있는 함수를 말한다. 고등학교에서 무리함수라고 지칭하며 다루는 함수는 일차식의 근호를 씌워 만든 함수이므로 본문에서도 이 무리함수에 대하여 다룰 것이다. 먼저 이 무리함수는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.
\( y = \sqrt{ a \left( x-p \right) } +q \), \( y = -\sqrt{ a \left( x-p \right) } +q \), \( y = c \sqrt{ ax+b } +d \)
각 상수의 값에 따라 무리함수의 그래프가 위치하는 사분면과 그 그래프의 곡선이 향하는 방향이 달라진다. 다음 그림은 무리함수의 그래프의 계형이다.
무리함수의 그래프는 포물선을 절반으로 자른 것과 동일하다. 무리함수가 \( y = k \sqrt{ a \left( x-p \right) } +q \) 꼴로 주어질 경우, p와 q의 값에 의하여 무리함수의 그래프가 시작하는 점, 달리 말해 포물선의 꼭짓점이 결정된다. 포물선의 꼭짓점은 항상 \( \left( p \text{, } q \right) \)이다. 또한 k와 a의 부호에 의하여 그 그래프가 포물선의 꼭짓점으로부터 향하는 곡선의 방향이 달라진다. a와 k의 부호가 모두 양수이면 그 그래프의 곡선이 제1 사분면을 향한다. a의 부호가 음수이고, k의 부호가 양수이면 그 그래프의 곡선이 제2 사분면을 향한다. a와 k의 부호가 모두 음수이면 그 그래프의 곡선이 제3 사분면을 향한다. a의 부호가 양수이고, k의 부호가 음수이면 그 그래프의 곡선이 제4 사분면을 향한다. 아래는 a와 k의 부호에 따라 결정되는 무리함수의 그래프의 방향을 정리한 표이다.
| a의 부호 | |||
| 양수 | 음수 | ||
| k의 부호 | 양수 |  |
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| 음수 |  |
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무리함수의 정의역과 치역
\( y = k \sqrt{ ax+b } +d \) 꼴로 주어진 무리함수의 정의역은 특별히 정의되어있지 않을 때, 근호 안의 식이 양수가 되도록 하는 모든 실수 x, 다시 말해 \( ax+b > 0 \)가 되도록 하는 모든 실수 x를 정의역으로 한다. 무리함수의 치역은 k의 부호에 따라 결정된다. k의 부호가 양수이면 무리함수의 치역이 \( y>d \)인 모든 실수 y가 되며, k의 부호가 음수이면 무리함수의 치역이 \( y<d \)인 모든 실수 y가 된다.
형이상학과 수학이야말로 상상력이 가장 중요한 구실을 하는 학문이다.
-장 르 롱 달랑베르
