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xy 좌표평면 상에서 다항함수의 계형에 대하여 알아보자. 본문에서는 사차함수의 계형애 대하여 다룰 것이다.
사차함수
이전 글에서 다루었듯이 삼차함수의 그래프의 계형을 그 도함수인 이차함수를 이용해 결정할 수 있었다. 사차함수의 그래프의 계형 또한 그 도함수인 삼차함수를 이용해 결정할 수 있으며, 그래프의 계형은 도함수인 삼차함수와 x축과의 교점을 기준으로 하여 크게 4가지로 나눌 수 있다. 경우는 교점이 3개인 경우, 교점이 두 개인 경우, 교점이 한 개이고 그 교점에서 접하는 경우, 교점이 한 개이고 그 교점에서 접하지 않는 경우로 4가지이다.
교점이 3개인 경우
| 사차식의 계수 | 그림 | ||
| 양수 |  |
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| 음수 |  |
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이 경우는 바꿔 표현하면 서로 다른 세 실근을 가지는 경우라고 할 수 있다. 삼차함수의 그래프와 x축과의 교점이 3개인 경우에는 사차함수가 항상 극댓값과 극솟값을 가지며, 둘 중 하나가 2개로 총 3개의 극댓값과 극솟값을 가진다. 그러므로 이 경우 6가지의 사차함수의 그래프의 계형이 생길 수 있다.
교점이 두 개인 경우
| 사차식의 계수 | 그림 | |
| 양수 |  |
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| 음수 |  |
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이 경우는 바꿔 표현하면 서로 다른 두 실근을 가지고, 두 실근 중 하나가 중근인 경우라고 할 수 있다. 삼차함수의 그래프와 x축과의 교점이 2개인 경우에는 삼차함수의 그래프와 x축이 접하는 교점 하나가 항상 생긴다. 이로 인해 사차함수는 극댓값 또는 극솟값을 항상 하나 가지며, 4개의 그래프의 계형이 생길 수 있다.
교점이 한 개이고 그 교점이 삼차함수의 변곡점인 경우
| 사차식의 계수 | 그림 |
| 양수 |  |
| 음수 |  |
이 경우는 삼중근을 가지는 경우를 포함한다. 이 경우에는 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 항상 하나 가지며, 그 그래프의 계형이 2개 생길 수 있다. 또한 이 경우 그래프는 항상 대칭이 된다.
교점이 한 개이고 그 교점이 삼차함수의 변곡점이 아닌 경우
| 사차식의 계수 | 그림 | |
| 양수 |  |
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| 음수 |  |
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이 경우는 바꿔 표현하면 한 실근과 서로 다른 두 허근을 가지는 경우라고 할 수 있다. 다만 사차함수 \( f(x) = x^{4}+x^{2} \)과 같이 도함수가 한 실근과 서로 다른 두 허근을 가지면서 그 도함수의 그래프와 x축과의 교점이 변곡점이 되는 경우는 제외한다. 이 경우는 위의 경우와는 그래프의 계형이 약간 다르다. 극댓값 또는 극솟값을 항상 하나 가지며, 그 그래프의 계형이 4개 생길 수 있다. 이 경우 그래프는 대칭이 아니다.
수학의 매력은 결과가 절대적으로 확실하다는 데 있다.
-루이스 캐럴
