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xy 좌표평면 상에서 다항함수의 계형에 대하여 알아보자. 본문에서는 삼차함수의 계형애 대하여 다룰 것이다.
삼차함수
위 그림에서 볼 수 있듯이 xy 좌표평면 상에서 삼차함수의 그래프는 곡선으로 그려진다. 또한 그 계형은 각 항의 계수에 따라 여섯 가지 경우로 정해진다. 특히 삼차항의 계수가 양수이면 삼차함수의 그래프의 계형이 오른쪽 위를 향하는 곡선이 되며, 삼차항의 계수가 음수이면 삼차함수의 그래프의 계형이 오른쪽 아래를 향하는 곡선이 된다.
삼차함수 그래프의 계형을 결정함에 있어 중요한 것은 극값의 유무이다. 삼차함수의 극값의 유무는 삼각함수의 도함수인 이차함수의 그래프와 x축과의 교점을 조사하여 알 수 있다. 극값이 존재하는 경우, 삼차함수의 도함수와 x축이 서로 다른 두 교점에서 만나며, 위 그림 중 좌측의 그래프로 나타난다. 극값이 존재하지 않는 경우는 도함수의 그래프와 x축이 접하거나 만나지 않는 두 가지로 나눌 수 있다. 도함수의 그래프와 x축이 접하는 경우, 위 그림 중 중앙의 그래프로 나타나며, 도함수의 그래프와 x축이 만나지 않는 경우, 위 그림 중 우측의 그래프로 나타난다.
삼각함수의 그래프는 항상 변곡점을 가진다. 변곡점의 유무는 이계도함수에 의하여 결정되는데, 삼각함수의 이계도함수는 일차함수이므로 이계도함수의 함숫값이 양에서 음, 또는 음에서 양의 값으로 결정되는 경우가 항상 생긴다. 다시 말해 이계도함수의 그래프가 x축과의 접하지 않는 교점이 항상 존재한다는 의미이다. 따라서 삼각함수의 그래프는 항상 변곡점이 존재한다. 또한 삼각함수의 그래프는 변곡점에 대하여 대칭이 된다.
수학적 논증을 허용하지 않는 한, 어떤 조사도 엄밀하게 과학적이라고 말할 수 없다.
-레오나르도 다 빈치
