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우리는 흔히 큰 수에 대해 표현할 때 '천문학적인 수'라는 표현을 자주 사용한다. 그 말처럼 천문학에서는 지구와 달, 또는 태양계와 다른 항성계와의 거리 등 각 천체 간의 거리를 구하기 위해 매우 큰 수를 다룬다. 이러한 수는 값이 너무 커 계산을 함에 있어 매우 불편함을 초래하였다. 이러한 점을 해결하기 위해 이전에 없던 새로운 개념을 만들어 냈는데, 이것이 바로 '로그'이다.
로그의 정의
현대의 수학에서 로그(log, logarithm)는 다음과 같이 정의한다.
0과 1이 아닌 임의의 양수 \( a \)와 임의의 실수 \( N \)에 대하여 \( a^{x} = N \)이라는 관계가 성립할 때,
\( x \overset{\mathrm{def}}{=} \log_{a}{N} \)라고 정의한다.
이때, \( x \)를 밑이 \( a \)인 로그 \( N \)이라고 하며,
a를 로그의 밑, N을 로그의 진수라고 한다.
로그의 밑과 진수의 조건
로그의 정의에 의하여 로그의 밑과 진수는 다음과 같은 조건을 갖는다.
로그의 밑의 조건
\( \log_{a}{N} \)에 대하여 밑 \( a \)는 \( a>0 \)이고 \( a \ne 1 \)인 모든 실수이다.
로그의 진수의 조건
\( \log_{a}{N} \)에 대하여 진수 \( N \)은 \( N>0 \)인 모든 실수이다.
로그의 성질 1
로그는 그 정의에 의하여 다음과 같은 성질을 갖는다.
\(a \ne 1 \), \( a>0 \)인 임의의 실수 \( a \)에 대하여
\( \log_{a}{1} = 0 \)
거대한 수들의 곱셈과 나눗셈 및 제곱근 풀이와 세제곱 풀이만큼 몹시도 귀찮은 수학 문제도 없다. 그래서 나는 이런 어려움을 없앨 수 있는 확실하고 편리한 방법을 머릿속으로 생각하기 시작했다. 그것이 바로 로그이다.
-존 네이피어