※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.
이전 글에서1 임의의 정수 범위까지 지수법칙을 확장했듯이 유리수 지수를 정의했으니 이 유리수 지수에서도 지수법칙이 성립하는지 알아봐야 한다. 본문에서는 유리수 범위에서 지수법칙이 성립하는지 알아볼 것이다.
지수법칙 - \( a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \)
임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 유리수 \( m \), \( n \)에 대하여
지수법칙 \( a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \)이 성립
임의의 네 정수 \( p \), \( q \), \( r \), \( s \)에 대하여 \( \left| p \right| \), \( \left| q \right| \)가 서로소이고, \( \left| r \right| \), \( \left| s \right| \)가 서로소일 때, \( m = \frac{q}{p} \), \( n = \frac{s}{r} \)라고 하면
\( a^{m} = a^{\frac{q}{p}} = \sqrt[p]{a^{q}} \), \( a^{n} = a^{\frac{s}{r}} = \sqrt[r]{a^{s}} \)이므로
\( \begin{matrix} a^{m} \times a^{n} &=& \sqrt[p]{a^{q}} \times \sqrt[r]{a^{s}} \\ &=& \sqrt[pr]{a^{qr}} \times \sqrt[pr]{a^{ps}} \\ &=& \sqrt[pr]{ a^{qr} \times a^{ps} } \end{matrix} \)
0이 아닌 실수 \( a \)와 임의의 두 정수 \( \alpha \), \( \beta \)에 대하여 지수법칙 \( a^{\alpha} \times a^{\beta} = a^{\alpha+\beta} \)이 성립하므로
\( \sqrt[pr]{ a^{qr} \times a^{ps} } = \sqrt[pr]{ a^{qr-ps} } \)
또 실수 \( a \)와 두 정수 \( \alpha \), \( \beta \)에 대하여 \( \sqrt[\alpha]{a^{\beta}} = a^{\frac{\beta}{\alpha}} \)이므로
\( \begin{matrix} \sqrt[pr]{ a^{qr-ps} } &=& a^{ \frac{ qr-ps }{ pr } } \\ &=& a^{ \frac{ qr }{ pr } +\frac{ ps }{ pr } } \\ &=& a^{ \frac{ q }{ p } +\frac{ s }{ r } } \\ &=& a^{m+n} \end{matrix} \)
따라서 임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 유리수 \( m \), \( n \)에 대하여 지수법칙 \( a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \)이 성립한다.
지수법칙 - \( \left( a^{m} \right)^{n} \)
임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 유리수 \( m \), \( n \)에 대하여
지수법칙 \( \left( a^{m} \right)^{n} \)이 성립
임의의 네 정수 \( p \), \( q \), \( r \), \( s \)에 대하여 \( \left| p \right| \), \( \left| q \right| \)가 서로소이고, \( \left| r \right| \), \( \left| s \right| \)가 서로소일 때, \( m = \frac{q}{p} \), \( n = \frac{s}{r} \)라고 하면
\( a^{m} = a^{\frac{q}{p}} = \sqrt[p]{a^{q}} \), \( a^{n} = a^{\frac{s}{r}} = \sqrt[r]{a^{s}} \)이므로
\( \begin{matrix} \left( a^{m} \right)^{n} &=& \left( a^{ \frac{ q }{ p } } \right)^{ \frac{ s }{ r } } \\ &=& \sqrt[ r ]{ \left( a^{ \frac{ q }{ p } } \right)^{s} } \\ &=& \sqrt[ r ]{ \left( \sqrt[ p ]{ a^{q} } \right)^{s} } \\ &=& \sqrt[ r ]{ \sqrt[ p ]{ a^{qs} } } \\ &=& \sqrt[ pr ]{ a^{ qs } } \\ &=& a^{ \frac{ qs }{ pr } } \\ &=& a^{ \frac{q}{p} \times \frac{s}{r} } \\ &=& a^{mn} \end{matrix} \)
따라서 임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 유리수 \( m \), \( n \)에 대하여 지수법칙 \( \left( a^{m} \right)^{n} \)이 성립한다.
지수법칙 - \( a^{m} \div a^{n} = a^{m-n} \)
임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 유리수 \( m \), \( n \)에 대하여
지수법칙 \( a^{m} \div a^{n} = a^{m-n} \)이 성립
임의의 네 정수 \( p \), \( q \), \( r \), \( s \)에 대하여 \( \left| p \right| \), \( \left| q \right| \)가 서로소이고, \( \left| r \right| \), \( \left| s \right| \)가 서로소일 때, \( m = \frac{q}{p} \), \( n = \frac{s}{r} \)라고 하면
\( a^{m} = a^{\frac{q}{p}} = \sqrt[p]{a^{q}} \), \( a^{n} = a^{\frac{s}{r}} = \sqrt[r]{a^{s}} \)이므로
\( \begin{matrix} a^{m} \div a^{n} &=& \sqrt[ p ]{ a^{q} } \div \sqrt[ r ]{ a^{s} } \\ &=& \sqrt[pr]{a^{qr}} \div \sqrt[pr]{a^{ps}} \\ &=& \sqrt[pr]{ a^{qr} \div a^{ps} } \\ &=& \sqrt[pr]{ a^{qr-ps} } \\ &=& a^{ \frac{ qr-ps }{ pr } } \\ &=& a^{ \frac{q}{p} -\frac{s}{r} } \\ &=& a^{m-n} \end{matrix} \)
따라서 임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 유리수 \( m \), \( n \)에 대하여 지수법칙 \( a^{m} \div a^{n} = a^{m-n} \)이 성립한다.
순수수학은 우리가 무엇에 관하여 말하는지도 모르고 우리가 하는 말이 옳은지도 모르고 하는 학문이다.
-버트란드 러셀