지수와 로그(6)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

 이전 글에서^[각주:1] 임의의 정수 범위까지 지수법칙을 확장했듯이 유리수 지수를 정의했으니 이 유리수 지수에서도 지수법칙이 성립하는지 알아봐야 한다. 본문에서는 유리수 범위에서 지수법칙이 성립하는지 알아볼 것이다.

지수법칙 - $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$

임의의 양수 $a$와 임의의 두 유리수 $m$, $n$에 대하여

지수법칙 $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$이 성립

 임의의 네 정수 $p$, $q$, $r$, $s$에 대하여 $\left| p \right|$, $\left| q \right|$가 서로소이고, $\left| r \right|$, $\left| s \right|$가 서로소일 때, $m = \frac{q}{p}$, $n = \frac{s}{r}$라고 하면

$a^{m} = a^{\frac{q}{p}} = \sqrt[p]{a^{q}}$, $a^{n} = a^{\frac{s}{r}} = \sqrt[r]{a^{s}}$이므로

$\begin{matrix} a^{m} \times a^{n} &=& \sqrt[p]{a^{q}} \times \sqrt[r]{a^{s}} \\ &=& \sqrt[pr]{a^{qr}} \times \sqrt[pr]{a^{ps}} \\ &=& \sqrt[pr]{ a^{qr} \times a^{ps} } \end{matrix}$

0이 아닌 실수 $a$와 임의의 두 정수 $\alpha$, $\beta$에 대하여 지수법칙 $a^{\alpha} \times a^{\beta} = a^{\alpha+\beta}$이 성립하므로

$\sqrt[pr]{ a^{qr} \times a^{ps} } = \sqrt[pr]{ a^{qr-ps} }$

또 실수 $a$와 두 정수 $\alpha$, $\beta$에 대하여 $\sqrt[\alpha]{a^{\beta}} = a^{\frac{\beta}{\alpha}}$이므로

$\begin{matrix} \sqrt[pr]{ a^{qr-ps} } &=& a^{ \frac{ qr-ps }{ pr } } \\ &=& a^{ \frac{ qr }{ pr } +\frac{ ps }{ pr } } \\ &=& a^{ \frac{ q }{ p } +\frac{ s }{ r } } \\ &=& a^{m+n} \end{matrix}$

 따라서 임의의 양수 $a$와 임의의 두 유리수 $m$, $n$에 대하여 지수법칙 $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$이 성립한다.

지수법칙 - $\left( a^{m} \right)^{n}$

임의의 양수 $a$와 임의의 두 유리수 $m$, $n$에 대하여

지수법칙 $\left( a^{m} \right)^{n}$이 성립

 임의의 네 정수 $p$, $q$, $r$, $s$에 대하여 $\left| p \right|$, $\left| q \right|$가 서로소이고, $\left| r \right|$, $\left| s \right|$가 서로소일 때, $m = \frac{q}{p}$, $n = \frac{s}{r}$라고 하면

$a^{m} = a^{\frac{q}{p}} = \sqrt[p]{a^{q}}$, $a^{n} = a^{\frac{s}{r}} = \sqrt[r]{a^{s}}$이므로

$\begin{matrix} \left( a^{m} \right)^{n} &=& \left( a^{ \frac{ q }{ p } } \right)^{ \frac{ s }{ r } } \\ &=& \sqrt[ r ]{ \left( a^{ \frac{ q }{ p } } \right)^{s} } \\ &=& \sqrt[ r ]{ \left( \sqrt[ p ]{ a^{q} } \right)^{s} } \\ &=& \sqrt[ r ]{ \sqrt[ p ]{ a^{qs} } } \\ &=& \sqrt[ pr ]{ a^{ qs } } \\ &=& a^{ \frac{ qs }{ pr } } \\ &=& a^{ \frac{q}{p} \times \frac{s}{r} } \\ &=& a^{mn} \end{matrix}$

 따라서 임의의 양수 $a$와 임의의 두 유리수 $m$, $n$에 대하여 지수법칙 $\left( a^{m} \right)^{n}$이 성립한다.

지수법칙 - $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$

임의의 양수 $a$와 임의의 두 유리수 $m$, $n$에 대하여

지수법칙 $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$이 성립

 임의의 네 정수 $p$, $q$, $r$, $s$에 대하여 $\left| p \right|$, $\left| q \right|$가 서로소이고, $\left| r \right|$, $\left| s \right|$가 서로소일 때, $m = \frac{q}{p}$, $n = \frac{s}{r}$라고 하면

$a^{m} = a^{\frac{q}{p}} = \sqrt[p]{a^{q}}$, $a^{n} = a^{\frac{s}{r}} = \sqrt[r]{a^{s}}$이므로

$\begin{matrix} a^{m} \div a^{n} &=& \sqrt[ p ]{ a^{q} } \div \sqrt[ r ]{ a^{s} } \\ &=& \sqrt[pr]{a^{qr}} \div \sqrt[pr]{a^{ps}} \\ &=& \sqrt[pr]{ a^{qr} \div a^{ps} } \\ &=& \sqrt[pr]{ a^{qr-ps} } \\ &=& a^{ \frac{ qr-ps }{ pr } } \\ &=& a^{ \frac{q}{p} -\frac{s}{r} } \\ &=& a^{m-n} \end{matrix}$

 따라서 임의의 양수 $a$와 임의의 두 유리수 $m$, $n$에 대하여 지수법칙 $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$이 성립한다.

 

 

 

순수수학은 우리가 무엇에 관하여 말하는지도 모르고 우리가 하는 말이 옳은지도 모르고 하는 학문이다.

-버트란드 러셀

---

1. [수학/고등학생을 위한 수학] - 지수와 로그(2) [본문으로]