지수와 로그(9)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

 이전 글^[각주:1]에서 지수를 이용하여 로그를 정의하였다. 이로 인해 로그는 지수법칙을 이용해 두 연산을 유도할 수 있다. 본문에서는 이 연산에 대해 알아볼 것이다.

로그의 합

 \( a \ne 1 \)인 임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 양수 \( M \), \( N \)에 대하여

\( \log_{a}{M} +\log_{a}{N} = \log_{a}{MN} \)

 밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱으로 표현이 가능하다. 이는 지수법칙을 이용해 증명이 가능하다. 아래는 이 연산을 증명하는 과정이다.

\( a \ne 1 \)인 임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 양수 \( M \), \( N \)에 대하여 \( x = \log_{a}{M} \), \( y = \log_{a}{N} \)라고 하면

로그의 정의에 의하여 \( M = a^{x} \), \( N = a^{y} \)

또 지수법칙에 의하여 \( a^{x} \times a^{y} = a^{x+y} \)이므로 \( MN = a^{x+y} \)

이때 로그에 정의에 의하여 \( x+y = \log_{a}{MN} \)

\( \therefore \log_{a}{M} +\log_{a}{N} = \log_{a}{MN} \)

로그의 차

 \( a \ne 1 \)인 임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 양수 \( M \), \( N \)에 대하여

\( \log_{a}{M} -\log_{a}{N} = \log_{a}{\frac{M}{N}} \)

 밑이 같은 로그의 차는 진수의 나누기로 표현이 가능하다. 이는 지수법칙을 이용해 증명이 가능하다. 아래는 이 연산을 증명하는 과정이다.

\( a \ne 1 \)인 임의의 양수 \( a \)와 임의의 두 양수 \( M \), \( N \)에 대하여 \( x = \log_{a}{M} \), \( y = \log_{a}{N} \)라고 하면

로그의 정의에 의하여 \( M = a^{x} \), \( N = a^{y} \)

또 지수법칙에 의하여 \( a^{x} \div a^{y} = a^{x-y} \)이므로 \( \frac{M}{N} = a^{x-y} \)

이때 로그에 정의에 의하여 \( x-y = \log_{a}{ \frac{M}{N} } \)

\( \therefore \log_{a}{M} -\log_{a}{N} = \log_{a}{ \frac{M}{N} } \)

 

 

 

보편적이지 않은 견해를 갖길 두려워하지 말라. 지금 보편적으로 받아들여지는 견해들도 처음 나왔을 때는 별난 것이었다.

-버트란드 러셀

---

1. [수학/고등학생을 위한 수학] - 지수와 로그(4) [본문으로]