지수와 로그(11)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 로그는 연산을 편하게 만들어주는 몇 가지 성질을 가진다. 그 중 하나가 흔히 '로그의 밑의 변환'이나 '로그의 밑 변환 공식'으로 불리고 있는 성질이다. 본문에서는 이러한 로그의 밑의 변환에 대해 알아볼 것이다.

로그의 밑의 변환 - \( \log_{a}{b} = \frac{ \log_{c}{b} }{ \log_{c}{a} } \)

\( a \ne 1 \), \( b \ne 1 \), \( c \ne 1 \)인 임의의 세 양수 \( a \), \( b \), \( c \)에 대하여 \( \log_{a}{b} = \frac{ \log_{c}{b} }{ \log_{c}{a} } \)

\( a \ne 1 \), \(b \ne 1\), \( c \ne 1 \)인 임의의 세 양수 \( a \), \( b \), \( c \)에 대하여

\( x = \log_{a}{b} \), \( y = \log_{c}{a} \)라고 하면

로그의 정의에 의하여 \( a^{x} = b \), \( c^{y} = a \)이므로

\( b = a^{x} = \left( c^{y} \right)^{x} = c^{xy} \)

로그의 정의에 의하여 \( xy = \log_{c}{b} \)이므로

\( \log_{a}{b} \times \log_{c}{a} = \log_{c}{b} \)

\( \therefore \log_{a}{b} = \frac{ \log_{c}{b} }{ \log_{c}{a} } \)

 따름정리로 아래와 같은 로그의 밑의 변환이 나온다.

따름정리 - 로그의 밑의 변환 - \( \log_{a}{b} = \frac{ 1 }{ \log_{b}{a} } \)

\( a \ne 1 \), \( b \ne 1 \)인 임의의 두 양수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( \log_{a}{b} = \frac{ 1 }{ \log_{b}{a} } \)

\( a \ne 1 \), \(b \ne 1\)인 임의의 두 양수 \( a \), \( b \)에 대하여

\( \log_{a}{b} = \frac{ \log_{b}{b} }{ \log_{b}{a} } = \frac{ 1 }{ \log_{b}{a} } \text{ } \left( \therefore \log_{a}{b} = \frac{ \log_{c}{b} }{ \log_{c}{a} } \right) \)

 

 

 

좋은 삶이란, 사랑으로부터 영감을, 지식으로부터 인도를 받는 삶이다.

-버트란드 러셀

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