지수와 로그(12)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 지수에 의하여 정의되는 로그는 다음 몇 가지 성질을 가진다.

로그의 성질 - \( \log_{a}{b} \times \log_{b}{a} = 1 \)

\( a \ne 1 \), \( b \ne 1 \)인 임의의 두 양수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( \log_{a}{b} \times \log_{b}{a} = 1 \)

\( \log_{a}{b} \times \log_{b}{a} = \log_{a}{b} \times \frac{ 1 }{ \log_{a}{b} } = 1 \)

 이 등식을 다음과 같이 확장할 수 있다.

\( a_{n} \ne 1 \), \( a_{n} > 0 \)인 수열 \( \left\{ a_{n} \right\} \)에 대하여 다음 등식이 성립한다.

\( \log_{ a_{0} }{ a^{1} } \times \log_{ a_{1} }{ a_{2} } \times \log_{ a_{2} }{ a_{3} } \times \cdots \times \log_{ a_{n-2} }{ a_{n-1} } \times \log_{ a_{n-1} }{ a_{n} } = \log_{ a_{0} }{ a_{n} } \)

로그의 성질 - \( \log_{a^{m}}{b^{n}} = \frac{n}{m} \log_{a}{b} \)

\( a \ne 1 \)인 임의의 양수 \( a \), 임의의 양수 \( M \), 0이 아닌 임의의 실수 \( k \)에 대하여 \( \log_{ a^{k} }{ M } = \frac{1}{k} \log_{ a }{ M } \)

\( p \ne 1 \)인 양수 \( p \)에 대하여

\( \log_{a^{k}}{M} = \frac{ \log_{p}{M} }{ \log_{p}{a^{k}} } = \frac{ \log_{p}{M} }{ k \log_{p}{a} } = \frac{1}{k} \log_{a}{M} \)이므로

\( \log_{ a^{k} }{ M } = \frac{1}{k} \log_{ a }{ M } \)이 성립한다.

 이때, 이전 글^[각주:1]에서 다룬 로그의 성질과 함께 \( \log_{a^{m}}{b^{n}} = \frac{n}{m} \log_{a}{b} \)로 쓸 수 있다.

로그의 성질 - \( a^{ \log_{a}{b} } = b \)

\( a \ne 1 \)인 임의의 양수 \( a \)와 임의의 양수 \( b \)에 대하여 \( a^{ \log_{a}{b} } = b \)

\( x = \log_{a}{b} \)라고 하면 로그의 정의에 의하여 \( a^{x} = b \)

이때, \( a^{ \log_{a}{b} } = a^{x} \)이므로 \( a^{ \log_{a}{b} } = b \)

로그의 성질 - \( a^{ \log_{c}{a} } = b^{ \log_{c}{a} } \)

\( c \ne 1 \)인 임의의 양수 \( c \)와 임의의 두 양수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a^{ \log_{c}{b} } = b^{ \log_{c}{a} } \)

 \( a = 1 \)인 경우, \( 1^{ \log_{c}{b} } = 1 \), \( b^{ \log_{c}{1} } = b^{0} = 1 \)이므로 등식 \( a^{ \log_{c}{b} } = b^{ \log_{c}{a} } \)이 성립한다.

 \( a \ne 1 \)인 경우, \( a^{ \log_{a}{b} } = b \)가 성립하므로 이 등식의 양변에 \( \log_{c}{a} \)제곱을 하면

 좌변은 \( \left( a^{ \log_{a}{b} } \right)^{ \log_{c}{a} } = a^{ \log_{a}{b} \times \log_{c}{a} } = a^{ \frac{ \log_{c}{b} }{ \log_{c}{a} } \times \log_{c}{a} } = a^{ \log_{c}{b} } \)이고, 우변은 \( b^{ \log_{c}{a} } \)이므로 등식 \( a^{ \log_{c}{b} } = b^{ \log_{c}{a} } \)이 성립한다.

 따라서 \( a = 1 \), \( a \ne 1 \)인 경우에 대하여 모두 등식 \( a^{ \log_{c}{b} } = b^{ \log_{c}{a} } \)이 성립한다.

 

 

 

대부분의 과학은 하나의 세대가 세운 것을 다음 세대가 부순다. 오직 수학만이 낡은 건물 위에 새로운 층을 세워 올린다.

-헤르만 한켈

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1. [수학/고등학생을 위한 수학] - 지수와 로그(10) [본문으로]