지수와 로그(12)

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 지수에 의하여 정의되는 로그는 다음 몇 가지 성질을 가진다.

로그의 성질 - ${\log }_{a}b\times {\log }_{b}a=1$

$a\ne 1$, $b\ne 1$인 임의의 두 양수 $a$, $b$에 대하여 ${\log }_{a}b\times {\log }_{b}a=1$

${\log }_{a}b\times {\log }_{b}a={\log }_{a}b\times \frac{1}{{\log }_{a}b}=1$

 이 등식을 다음과 같이 확장할 수 있다.

$a_n\ne 1$, $a_n>0$인 수열 $\left\{a_n\right\}$에 대하여 다음 등식이 성립한다.

${\log }_{a_0}{a}^1\times {\log }_{a_1}{a}_2\times {\log }_{a_2}{a}_3\times \cdots \times {\log }_{a_{n-2}}{a}_{n-1}\times {\log }_{a_{n-1}}{a}_n={\log }_{a_0}{a}_n$

로그의 성질 - ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$

$a\ne 1$인 임의의 양수 $a$, 임의의 양수 $M$, 0이 아닌 임의의 실수 $k$에 대하여 ${\log }_{a^k}M=\frac{1}{k}{\log }_{a}M$

$p\ne 1$인 양수 $p$에 대하여

${\log }_{a^k}M=\frac{{\log }_{p}M}{{\log }_p{a}^k}=\frac{{\log }_{p}M}{k{\log }_{p}a}=\frac{1}{k}{\log }_{a}M$이므로

${\log }_{a^k}M=\frac{1}{k}{\log }_{a}M$이 성립한다.

 이때, 이전 글^[각주:1]에서 다룬 로그의 성질과 함께 ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}{\log }_{a}b$로 쓸 수 있다.

로그의 성질 - $a^{{\log }_{a}b}=b$

$a\ne 1$인 임의의 양수 $a$와 임의의 양수 $b$에 대하여 $a^{{\log }_{a}b}=b$

$x={\log }_{a}b$라고 하면 로그의 정의에 의하여 $a^x=b$

이때, $a^{{\log }_{a}b}=a^x$이므로 $a^{{\log }_{a}b}=b$

로그의 성질 - $a^{{\log }_{c}a}=b^{{\log }_{c}a}$

$c\ne 1$인 임의의 양수 $c$와 임의의 두 양수 $a$, $b$에 대하여 $a^{{\log }_{c}b}=b^{{\log }_{c}a}$

 $a=1$인 경우, $1^{{\log }_{c}b}=1$, $b^{{\log }_{c}1}=b^0=1$이므로 등식 $a^{{\log }_{c}b}=b^{{\log }_{c}a}$이 성립한다.

 $a\ne 1$인 경우, $a^{{\log }_{a}b}=b$가 성립하므로 이 등식의 양변에 ${\log }_{c}a$제곱을 하면

 좌변은 ${\left(a^{{\log }_{a}b}\right)}^{{\log }_{c}a}=a^{{\log }_{a}b\times {\log }_{c}a}=a^{\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}\times {\log }_{c}a}=a^{{\log }_{c}b}$이고, 우변은 $b^{{\log }_{c}a}$이므로 등식 $a^{{\log }_{c}b}=b^{{\log }_{c}a}$이 성립한다.

 따라서 $a=1$, $a\ne 1$인 경우에 대하여 모두 등식 $a^{{\log }_{c}b}=b^{{\log }_{c}a}$이 성립한다.

 

 

 

대부분의 과학은 하나의 세대가 세운 것을 다음 세대가 부순다. 오직 수학만이 낡은 건물 위에 새로운 층을 세워 올린다.

-헤르만 한켈

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1. [수학/고등학생을 위한 수학] - 지수와 로그(10) [본문으로]