지수와 로그(14)

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 상용로그를 이용하는 이유는 우리가 사용하는 수가 곧 10진수 체계를 이용해 표현하기 때문이다. 본문에서는 상용로그의 정수부분과 소수부분에 대하여 다룰 것이다.

상용로그의 정수부분과 소수부분

 어떤 상용로그의 진수가 $N$이라고 할 때, $N = a \times 10^{n}$ ( $1 \le \log{a} < 10$, $n$은 정수 )라고 하면 아래의 등식이 성립한다.

$$\log{N} = n+\log{a}$$

 여기서 $n$을 상용로그의 정수부분, $\log{a}$를 상용로그의 소수부분이라고 한다.

정수부분의 성질

 $\log{N}$이 존재하도록 하는 진수 $N$에 대하여 $N$의 정수부분이 $m$자리 자연수라고 하면 $\log{N}$의 정수부분은 항상 ($m-1$)이다. 예를 들어 25가 2자리 자연수이므로 $\log{25}$의 정수부분은 1이고, 592.78의 정수부분은 592이고 이는 3자리 자연수이므로 $\log{592.78}$의 정수부분은 2이다. 아래는 이를 증명하는 과정이다.

정수부분이 $n$자리 자연수인 양수 $N$에 대하여 $\log{N}$의 정수부분이 항상 ($n-1$)임을 증명하는 과정이다. 이 명제는 임의의 자연수 $n$에 대하여 등식 $\log{N} = \left( n-1 \right) +\log{a}$ (단, 진수 $N$은 정수부분이 $n$자리 자연수인 임의의 양수이고, $a$는 $0 \le \log{a}<1$인 임의의 실수)로 바꿔 쓸 수 있다.  먼저 $n=1$인 경우에 대하여 생각해보자. 이 경우 $N = a$ ($a$는 $1 \le a <10$인 실수)라고 서술할 수 있다. 등식의 양변에 상용로그를 취하면 $\log{N} = \log{a}$이므로 $n=1$일 때 등식 $\log{N} = \left( n-1 \right) +\log{a}$가 성립한다.  $n=2$인 경우, $N = a \times 10$ ($a$는 $1 \le a <10$인 실수)라고 서술할 수 있고, 등식의 양변에 상용로그를 취하면 $\log{N} = \log{10a} = 1+\log{a}$이다. 따라서 $n=2$일 때 등식 $\log{N} = \left( n-1 \right) +\log{a}$가 성립한다.  자, 이제 $n=k$ ($k$는 자연수)인 경우를 보자. 이 경우에는 $N = a \times 10^{k-1}$ ($a$는 $1 \le a <10$인 실수)라고 서술할 수 있고, 등식의 양변에 상용로그를 취하면 $\log{N} = \log{ \left( a \times 10^{k-1} \right) } = \left( k-1 \right) +\log{a}$이다. 따라서 임의의 자연수 $n$에 대하여 등식 $\log{N} = \left( n-1 \right) +\log{a}$가 성립한다. ※주의※ 여기서 증명에 사용한 방식은 수학적 귀납법이 아니다. 먼저 나온 두 경우는 예시로 들어준 것이고, 이후 임의의 자연수 k로 이들을 일반화하여 증명한 것이다.

 그러므로 $\log{N}$의 정수부분을 알면 진수 $N$이 1보다 큰지 작은지, 크다면 $N$의 정수부분이 몇 자리 자연수인지를 알 수 있다.

소수부분의 성질

 소수부분이 같은 두 상용로그의 진수를 각각 $a$, $b$라고 하면 다음이 성립한다.

①: $b = a \times 10^{k}$를 만족하는 정수 $k$가 존재한다.

②: $\log{a}-\log{b} = k$를 만족하는 정수 $k$가 존재한다.

 이 두 등식은 하나를 증명하면 따름정리로 도출된다. 즉, 서로 필요충분조건 관계에 있다고 할 수 있다.

$a = a^{\prime} \times 10^{n}$, $b = b^{\prime} \times 10^{m}$ ( $1 < a^{\prime} < 1$, $1 < b^{\prime} < 1$, $m$, $n$은 정수 )라고 할 때, 각 등식의 양변에 상용로그를 취하면 $\log{a} = n+\log{a^{\prime}}$, $\log{b} = m+\log{b^{\prime}}$ 두 등식을 빼면 $\log{a}-\log{b} = n-m+\log{a^{\prime}}-\log{b^{\prime}}$ 이때, 두 소수부분이 같으므로 $\log{b^{\prime}} = \log{a^{\prime}}$이므로 $\log{a}-\log{b} = n-m$ 따라서 $\log{a}-\log{b} = k$를 만족하는 정수 $k$가 존재한다.

 

 

 

우리는 우리의 판단력보다는 도리어 대수적 계산에 신뢰를 두어야 한다.

-오일러

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