지수와 로그(14)

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 상용로그를 이용하는 이유는 우리가 사용하는 수가 곧 10진수 체계를 이용해 표현하기 때문이다. 본문에서는 상용로그의 정수부분과 소수부분에 대하여 다룰 것이다.

상용로그의 정수부분과 소수부분

 어떤 상용로그의 진수가 \( N \)이라고 할 때, \( N = a \times 10^{n} \) ( \( 1 \le \log{a} < 10 \), \( n \)은 정수 )라고 하면 아래의 등식이 성립한다.

$$ \log{N} = n+\log{a} $$

 여기서 \( n \)을 상용로그의 정수부분, \( \log{a} \)를 상용로그의 소수부분이라고 한다.

정수부분의 성질

 \( \log{N} \)이 존재하도록 하는 진수 \( N \)에 대하여 \( N \)의 정수부분이 \( m \)자리 자연수라고 하면 \( \log{N} \)의 정수부분은 항상 (\( m-1 \))이다. 예를 들어 25가 2자리 자연수이므로 \( \log{25} \)의 정수부분은 1이고, 592.78의 정수부분은 592이고 이는 3자리 자연수이므로 \( \log{592.78} \)의 정수부분은 2이다. 아래는 이를 증명하는 과정이다.

정수부분이 \( n \)자리 자연수인 양수 \( N \)에 대하여 \( \log{N} \)의 정수부분이 항상 (\( n-1 \))임을 증명하는 과정이다. 이 명제는 임의의 자연수 \( n \)에 대하여 등식 \( \log{N} = \left( n-1 \right) +\log{a} \) (단, 진수 \( N \)은 정수부분이 \( n \)자리 자연수인 임의의 양수이고, \( a \)는 \( 0 \le \log{a}<1 \)인 임의의 실수)로 바꿔 쓸 수 있다.  먼저 \( n=1 \)인 경우에 대하여 생각해보자. 이 경우 \( N = a \) (\( a \)는 \( 1 \le a <10 \)인 실수)라고 서술할 수 있다. 등식의 양변에 상용로그를 취하면 \( \log{N} = \log{a} \)이므로 \( n=1 \)일 때 등식 \( \log{N} = \left( n-1 \right) +\log{a} \)가 성립한다.  \( n=2 \)인 경우, \( N = a \times 10 \) (\( a \)는 \( 1 \le a <10 \)인 실수)라고 서술할 수 있고, 등식의 양변에 상용로그를 취하면 \( \log{N} = \log{10a} = 1+\log{a} \)이다. 따라서 \( n=2 \)일 때 등식 \( \log{N} = \left( n-1 \right) +\log{a} \)가 성립한다.  자, 이제 \( n=k \) (\( k \)는 자연수)인 경우를 보자. 이 경우에는 \( N = a \times 10^{k-1} \) (\( a \)는 \( 1 \le a <10 \)인 실수)라고 서술할 수 있고, 등식의 양변에 상용로그를 취하면 \( \log{N} = \log{ \left( a \times 10^{k-1} \right) } = \left( k-1 \right) +\log{a} \)이다. 따라서 임의의 자연수 \( n \)에 대하여 등식 \( \log{N} = \left( n-1 \right) +\log{a} \)가 성립한다. ※주의※ 여기서 증명에 사용한 방식은 수학적 귀납법이 아니다. 먼저 나온 두 경우는 예시로 들어준 것이고, 이후 임의의 자연수 k로 이들을 일반화하여 증명한 것이다.

 그러므로 \( \log{N} \)의 정수부분을 알면 진수 \( N \)이 1보다 큰지 작은지, 크다면 \( N \)의 정수부분이 몇 자리 자연수인지를 알 수 있다.

소수부분의 성질

 소수부분이 같은 두 상용로그의 진수를 각각 \( a \), \( b \)라고 하면 다음이 성립한다.

①: \( b = a \times 10^{k} \)를 만족하는 정수 \( k \)가 존재한다.

②: \( \log{a}-\log{b} = k \)를 만족하는 정수 \( k \)가 존재한다.

 이 두 등식은 하나를 증명하면 따름정리로 도출된다. 즉, 서로 필요충분조건 관계에 있다고 할 수 있다.

\( a = a^{\prime} \times 10^{n} \), \( b = b^{\prime} \times 10^{m} \) ( \( 1 < a^{\prime} < 1 \), \( 1 < b^{\prime} < 1 \), \( m \), \( n \)은 정수 )라고 할 때, 각 등식의 양변에 상용로그를 취하면 \( \log{a} = n+\log{a^{\prime}} \), \( \log{b} = m+\log{b^{\prime}} \) 두 등식을 빼면 \( \log{a}-\log{b} = n-m+\log{a^{\prime}}-\log{b^{\prime}} \) 이때, 두 소수부분이 같으므로 \( \log{b^{\prime}} = \log{a^{\prime}} \)이므로 \( \log{a}-\log{b} = n-m \) 따라서 \( \log{a}-\log{b} = k \)를 만족하는 정수 \( k \)가 존재한다.

 

 

 

우리는 우리의 판단력보다는 도리어 대수적 계산에 신뢰를 두어야 한다.

-오일러

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