지수와 로그(15)

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 상용로그에서 정수부분과 소수부분을 정의했듯이 일반적인 로그에서도 이를 확장하여 정의할 수 있다.

로그의 정수부분과 소수부분

 어떤 로그의 밑이 \( a \), 진수가 \( N \)이라고 할 때, 등식 \( \log_{a}{N} = n +\alpha \)를 만족하는 정수 \( n \)과 \( 0 \le \alpha < 1 \)인 실수 \( \alpha \)가 존재하면 정수 \( n \)을 \( \log_{a}{N} \)의 정수부분, 실수 \( \alpha \)를 \( \log_{a}{N} \)의 소수부분이라고 한다.

정수부분의 성질

 \( \log_{a}{N} \)이 존재하도록 하는 밑 \( a \)와 진수 \( N \)이 임의의 정수 \( m \)에 대하여 \( N \)이 \( a^{m} \)과 \( a^{m+1} \)사이에 있는 수, 다시 말해 정수 \( m \)에 대하여 \( a^{m} \le N < a^{m+1} \)을 만족하는 수이면 \( \log_{a}{N} \)의 정수부분은 항상 \( m \)이다. 예를 들어 25가 16과 32 사이에 있는 수이므로 \( \log_{2}{25} \)의 정수부분은 4이고, 592.78는 243과 729 사이에 있는 수이므로 \( \log_{3}{592.78} \)의 정수부분은 5이다. 그러므로 \( \log_{a}{N} \)의 정수부분을 알면 진수 \( N \)이 1보다 큰지 작은지와, \( N \)이 a의 어떤 연속된 두 정수 거듭제곱의 사이에 있는지 알 수 있다.

소수부분의 성질

 밑이 \( a \)이고, 소수부분이 \( \alpha \)로 같은 두 로그의 진수를 각각 \( M \), \( N \)이라고 하면 다음이 성립한다.

①: \( N = \beta \times a^{k} \)를 만족하는 정수 \( k \)가 존재한다. (단, \( \beta \)는 \( 1 \le \beta < a\)인 실수)

②: \( \log_{a}{M}-\log_{a}{N} = k \)를 만족하는 정수 \( k \)가 존재한다.

 이 두 등식은 하나를 증명하면 따름정리로 도출된다. 즉, 서로 필요충분조건 관계에 있다고 할 수 있다.

\( M = M^{\prime} \times a^{m} \), \( N = N^{\prime} \times a^{n} \) ( \( 1 < M^{\prime} < a \), \( 1 < N^{\prime} < a \), \( m \), \( n \)은 정수 )라고 할 때, 각 등식의 양변에 밑이 \( a \)인 로그를 취하면 \( \log_{a}{M} = m+\log{M^{\prime}} \), \( \log{N} = n+\log{N^{\prime}} \) 두 등식을 빼면 \( \log{M}-\log{N} = m-n +\log{M^{\prime}}-\log{N^{\prime}} \) 이때, 두 소수부분이 \( \alpha \)로 같고, \( 0 \le \log_{a}{M^{\prime}} <1 \), \( 0 \le \log_{a}{N^{\prime}} < 1 \)이므로 \( \log{M^{\prime}} = \log{N^{\prime}} = \alpha \) 따라서 \( \log{M}-\log{N} = m-n \)이므로 \( \log{a}-\log{b} = k \)를 만족하는 정수 \( k \)가 존재한다.

 

 

 

수학의 명제는 살이 없는 뼈대만으로 이루어졌고 그 추리과정이 유난히 난해하고 복잡하며, 그 결과는 완벽하게 정확하고 폭넓은 보편성을 지녔으며, 사실상 오류가 없다.

-찰스 샌더스퍼어스

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