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수학/고등학생을 위한 수학

지수와 로그(15)

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※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.


 상용로그에서 정수부분과 소수부분을 정의했듯이 일반적인 로그에서도 이를 확장하여 정의할 수 있다.

로그의 정수부분과 소수부분

 어떤 로그의 밑이 a, 진수가 N이라고 할 때, 등식 logaN=n+α를 만족하는 정수 n0α<1인 실수 α가 존재하면 정수 nlogaN의 정수부분, 실수 αlogaN의 소수부분이라고 한다.

정수부분의 성질

 logaN이 존재하도록 하는 밑 a와 진수 N이 임의의 정수 m에 대하여 Namam+1사이에 있는 수, 다시 말해 정수 m에 대하여 amN<am+1을 만족하는 수이면 logaN의 정수부분은 항상 m이다. 예를 들어 25가 16과 32 사이에 있는 수이므로 log225의 정수부분은 4이고, 592.78는 243과 729 사이에 있는 수이므로 log3592.78의 정수부분은 5이다. 그러므로 logaN의 정수부분을 알면 진수 N이 1보다 큰지 작은지와, N이 a의 어떤 연속된 두 정수 거듭제곱의 사이에 있는지 알 수 있다.

소수부분의 성질

 밑이 a이고, 소수부분이 α로 같은 두 로그의 진수를 각각 M, N이라고 하면 다음이 성립한다.

①: N=β×ak를 만족하는 정수 k가 존재한다. (단, β1β<a인 실수)

②: logaMlogaN=k를 만족하는 정수 k가 존재한다.

 이 두 등식은 하나를 증명하면 따름정리로 도출된다. 즉, 서로 필요충분조건 관계에 있다고 할 수 있다.

M=M×am, N=N×an ( 1<M<a, 1<N<a, m, n은 정수 )라고 할 때,
각 등식의 양변에 밑이 a인 로그를 취하면
logaM=m+logM, logN=n+logN
두 등식을 빼면
logMlogN=mn+logMlogN
이때, 두 소수부분이 α로 같고, 0logaM<1, 0logaN<1이므로
logM=logN=α
따라서 logMlogN=mn이므로
logalogb=k를 만족하는 정수 k가 존재한다.

 

 

 

수학의 명제는 살이 없는 뼈대만으로 이루어졌고 그 추리과정이 유난히 난해하고 복잡하며, 그 결과는 완벽하게 정확하고 폭넓은 보편성을 지녔으며, 사실상 오류가 없다.

-찰스 샌더스퍼어스


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