지수와 로그(16)

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 지금까지 자연수 범위에서만 정의하던 거듭제곱을 확장하여 지수에 실수까지 들어갈 수 있게 하여고, 지수법칙 또한 그에 맞춰 실수 지수에서도 성립하도록 확장하였다. 이러한 지수 자리에 변수를 집어넣어 \( R \to R \)인 함수를 만들어 볼 수 있다. 이를 지수함수라고 하며, 이는 본문에서 다룰 주제이기도 하다.

지수함수

 지수함수란 지수에 변수가 들어가 있는, 즉 함수식이 \( f(x) = k a^{ x-p }+q \) 꼴로 표현되는 함수를 말한다. 지수함수의 밑 \( a \)는고등학교 영역에서는 1이 아닌 양수로 제한한다. 지수의 범위가 임의의 실수까지 확장되었으므로 지수함수의 정의역은 실수 전체를 원소로 가지는 집합 \( R \)이다. 또한 곱으로 정의되는 거듭제곱의 특성상 지수함수 \( y = a^{x} \)는 양의 실수 전체를 원소로 가지는 집합을 치역으로 한다. 자, 이제 지수함수의 그래프의 계형에 대하여 알아보자.

지수함수의 그래프의 계형

 지수함수 \( y = k a^{ x-p } +q \)의 계형은 아래와 같다.

\( y = k a^{ x-p } +q \)
	\( a > 1 \)	\( 0< a < 1 \)
\( k>0 \)
\( k<0 \)

 위 그림에서 볼 수 있듯이 지수함수의 그래프는 점근선을 가진다. 지수함수 \( y = k a^{ x-p } +q \)는 직선 \( y = q \)를 점근선으로 가진다. 또한 지수함수의 그래프는 정의역의 원소의 값의 변화에 따른 함숫값의 변화가 급격하다는 것을 보여준다. 이는 양수 \( a \)의 값이 1보다 크면 함숫값이 점근선 \( y=q \)에서 멀어지는 경향을, 1보다 작으면 점근선 \( y = q \)에 가까워지는 경향을 보여준다.

 

 

 

오늘날에는 우리의 왕들이 수학을 모르며, 우리의 철학자들도 수학을 모르며, 나아가서 우리 수학자조차 수학을 모른다.

-오펜하이머

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