집합과 명제(1)

서론

 현재 많은 학생들이 초등학교, 중학교를 나오면서 배운 수학은 대체로 연산과 문제 풀이이다. 그렇다보니 단순한 연산과 수학을 착각하는 경우가 많다. 특히 고등학교에 들어와서는 이러한 경향이 더더욱 두드러지는지, 문제의 풀이와 여러 공식들, 정리들이 어떻게 증명이 되었는지는 고사하고 이들이 어떠한 의미를 가지는지 모르는 경우도 수두룩하다. 예를 들어 사잇값 정리는 간단히 어떤 연속함수에 대하여 그 연속함수의 두 함숫값 사이에 있는 값들은 곧 그 함수의 값이 될 수 있다는 정리이다. 여기서 따름 정리로 볼차노 정리가 유도되는데, 이 정리를 기억하고 있는 학생이 생각보다 많지 않았다. 수학이란 학문은 적당한 공리에 의해 유도되는, 즉 공리를 이용한 증명을 기반으로 다양한 정리와 연산이 정의되고, 이들을 통해 다시 확장해 나가는 학문이다. 그렇기에 더더욱 그 기반이 되는 증명과 공리는 중요하나, 고등학교에서 배우는 집합과 명제라는 단원은 학생들에게 무시되기 십상이다. 아마도 그 단원이 쉽다는 것에서, 본래 배우던 것과는 증명이라는 것이 꽤나 다르다는 점에서 그런 경향이 나타나는 것이라 본다. 그러나 필자 개인적으로는 이 단원이 수학의 기본을 이루는 집합과 함께 공리와 정리를 서술하는 명제, 그리고 증명하는 방법을 배운다는 점에서 매우 중요하다고 생각한다. 그런 까닭에 <집합과 명제> 시리즈를 시작하고자 한다.

구성

 <집합과 명제> 시리즈는 집합과 명제, 증명, 기타 연산들에 대하여 다룰 생각이다. 또한 증명 등에서 사용하는 여러 수학 및 논리기호들도 정리해보고자 한다. 다만 기호는 다른 시리즈에서 정리할 가능성도 더러 있다. 본 시리즈에서 다룰 증명은 모두 고등학생 수준에서만 다룰 것이다.

 

 

 

창조적 원리는 수학에 있다. 따라서 옛사람들이 꿈꾸었듯이, 나는 어떤 의미에서 순수사고가 진리를 파악할 수 있다고 본다.

-아인슈타인

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