집합과 명제(2)

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 집합과 명제에 대해 알기 위해서는 먼저 그 바탕이 되는 기본적인 용어를 알아야 한다. 본문에서는 그중 가장 근간이 되는 용어인 '집합'과 '원소'에 대하여 알아볼 것이다.

집합과 원소

 집합이란 명확한 기준을 통하여 만들어진 어떤 개체들의 모임을 말하고, 그 집합의 개체를 원소라고 한다. 그러나 이러한 정의는 이들을 다른 용어들처럼 엄밀하게 정의하기 힘들다. 마치 자연수를 정의할 때의 1이나, 기하학에서의 점과 같다. 그러므로 우리는 집합과 원소라는 녀석을 무정의 용어로 받아들인다. 다만 이 집합과 원소를 어떠한 개념인지는 명확히 하기 위해 그 기본적인 특성을 조사하자.

원소

 먼저 원소에 대해 알아보자. 원소는 간단히 어떠한 모임에 속하는 것이라 할 수 있다. 즉, 그 대상이 분명하여 어떤 모임을 만들 수 있다면, 그 모임에 속하는 각각은 모두 원소가 된다. 그러므로 OO이, □□이, △△이 같은 특정인이나, 의자나 책상 같은 사물, 감정, 사랑, 행복과 같은 추상적 개념, 뿐만 아니라 심지어는 자연수, 정수, 진핵생물역 등 특정한 모임조차도 원소가 될 수 있다. 다만 큰 수, 작은 수, 0에 가까운 수 등은 대상이 분명하지 않으므로 원소가 될 수 없다. 다시 말해 그 대상이 분명하기만 하면 원소가 될 수 있다.

집합

 앞서 얘기했듯이 집합은 원소들의 모임이며, 그 모임은 명확한 기준을 가지고 원소를 구분한다. 인간 남성들의 모임이나 자연수의 모임, 유기화합물의 모임과 같이 각각 인간 남성, 자연수, 유기화합물이라는 명확한 기준이 있으므로 이들 모임은 집합이다. 물론 동물계에 속하는 문의 모임 또한 명확한 기준이 있으므로 이 역시 집합이다. 그러나 작은 수들의 모임이나, 키가 큰 사람들의 모임 따위는 명확한 기준이 존재하지 않으므로 집합이 아니다.

집합과 원소의 표현

 흔히 집합은 대문자 알파벳, 원소는 소문자 알파벳으로 표현한다. 또한 집합 \( A \)에 원소 \( a \)가 속해있으면 이를 \( a \in A \)라고 표현한다.

 

 

 

수는 세상의 형태와 에너지의 원천이다.

-스미르나의 테온

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