지수와 로그(9)

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 이전 글^[각주:1]에서 지수를 이용하여 로그를 정의하였다. 이로 인해 로그는 지수법칙을 이용해 두 연산을 유도할 수 있다. 본문에서는 이 연산에 대해 알아볼 것이다.

로그의 합

 $a \ne 1$인 임의의 양수 $a$와 임의의 두 양수 $M$, $N$에 대하여

$\log_{a}{M} +\log_{a}{N} = \log_{a}{MN}$

 밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱으로 표현이 가능하다. 이는 지수법칙을 이용해 증명이 가능하다. 아래는 이 연산을 증명하는 과정이다.

$a \ne 1$인 임의의 양수 $a$와 임의의 두 양수 $M$, $N$에 대하여 $x = \log_{a}{M}$, $y = \log_{a}{N}$라고 하면

로그의 정의에 의하여 $M = a^{x}$, $N = a^{y}$

또 지수법칙에 의하여 $a^{x} \times a^{y} = a^{x+y}$이므로 $MN = a^{x+y}$

이때 로그에 정의에 의하여 $x+y = \log_{a}{MN}$

$\therefore \log_{a}{M} +\log_{a}{N} = \log_{a}{MN}$

로그의 차

 $a \ne 1$인 임의의 양수 $a$와 임의의 두 양수 $M$, $N$에 대하여

$\log_{a}{M} -\log_{a}{N} = \log_{a}{\frac{M}{N}}$

 밑이 같은 로그의 차는 진수의 나누기로 표현이 가능하다. 이는 지수법칙을 이용해 증명이 가능하다. 아래는 이 연산을 증명하는 과정이다.

$a \ne 1$인 임의의 양수 $a$와 임의의 두 양수 $M$, $N$에 대하여 $x = \log_{a}{M}$, $y = \log_{a}{N}$라고 하면

로그의 정의에 의하여 $M = a^{x}$, $N = a^{y}$

또 지수법칙에 의하여 $a^{x} \div a^{y} = a^{x-y}$이므로 $\frac{M}{N} = a^{x-y}$

이때 로그에 정의에 의하여 $x-y = \log_{a}{ \frac{M}{N} }$

$\therefore \log_{a}{M} -\log_{a}{N} = \log_{a}{ \frac{M}{N} }$

 

 

 

보편적이지 않은 견해를 갖길 두려워하지 말라. 지금 보편적으로 받아들여지는 견해들도 처음 나왔을 때는 별난 것이었다.

-버트란드 러셀

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1. [수학/고등학생을 위한 수학] - 지수와 로그(4) [본문으로]