집합과 명제(26)

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 보통 증명을 얘기하면 가정으로부터 출발하여 결론을 얻어내는 연역적 증명을 말한다. 그러나 증명에는 연역적 증명 이외에도 여러 종류가 있다. 본문에서는 귀류법을 이용한 증명에 대해 알아볼 것이다.

귀류법에 의한 증명

 귀류법을 이용한 증명은 귀류법, 모순증명법이라고도 불린다. 귀류법은 어떤 주장이 함의하고 있는 내용을 따라가다 보면 모순이 생김을 보여 그 주장이 거짓됨을 보이는 원리를 이용한 증명법이다. 수학에서는 주로 어떤 명제의 결론이 부정임을 가정하면 그에 따라 가정과 모순되는 결론이 도출됨을 보여 본래의 명제가 참임을 보인다. 예시를 통해 알아보자.

예시

명제 ⓐ	$\sqrt{3}$은 무리수이다.
증명	$\sqrt{3}$은 유리수라고 가정하면 서로소인 임의의 두 정수 $p$, $q$에 대하여 $\sqrt{3}=\frac{q}{p}$ (단, $p\ne 0$)라고 둘 수 있다. 등식을 $q$에 대해 정리하고 등식의 양변을 제곱하면 $q^2=3p^2$이므로 $q^2$은 3의 배수이다. 여기서 정수 $q^2$이 3의 배수이므로 정수 $q$ 또한 3의 배수이다. 정수 $q$가 3의 배수이므로 $q=3t$로 두면 $q^2=9t^2$ 등식 $q^2=3p^2$에 $q^2=9t^2$을 대입하면 $9t^2=3p^2$이므로 $3t^2=p^2$ $p^2=3t^2$이므로 $p^2$은 3의 배수이다. 여기서 정수 $p^2$이 3의 배수이므로 정수 $p$ 또한 3의 배수이다. 이때, 두 정수 $p$, $q$ 모두 3의 배수인 정수이므로 두 정수 $p$, $q$는 3을 공약수로 가지게 되고, 이는 두 정수 $p$, $q$가 서로소라는 전제에 모순이 되므로 $\sqrt{3}$은 유리수가 아니다. 따라서 $\sqrt{3}$은 무리수이다.
사용된 정리	유리수의 성질: 서로소인 두 정수 $p$, $q$에 대하여 $\frac{q}{p}$(단, $p\ne 0$) 꼴로 표현할 수 있다. 서로소의 정의: 두 정수의 공통된 약수가 단 하나 존재하는 두 정수의 관계 이미 참임이 증명된 명제: 임의의 정수 $n$에 대하여 $n^2$이 어떤 정수 $k$의 배수이면 $n$도 정수 $k$의 배수이다.

 귀류법을 사용하기 위해 첫 문장에서 결론을 부정하여 가정한다. 명제 ⓐ에서는 $\sqrt{3}$을 무리수가 아닌 실수, 즉 유리수로 가정한다. 유리수는 서로소인 임의의 두 정수 $p$, $q$에 대하여 $\frac{q}{p}$(단, $p\ne 0$) 꼴로 표현할 수 있으므로 $\sqrt{3}$이 무리수라면 당연히 $\sqrt{3}$ 또한 동일한 꼴로 표현할 수 있어야 한다. 이에 따라 증명을 전개해 나가면 두 정수 $p$, $q$가 모두 3의 배수가 되고, 이는 두 정수 $p$, $q$가 서로소라는 가정에 모순된다. 그러므로 $\sqrt{3}$은 유리수가 아닌 실수이므로 무리수이다.

 

 

 

유클리드가 그토록 좋아했던 귀류법은 수학자들이 갖고 있는 가장 훌륭한 무기이다. 그것은 체스보다 훨씬 더 대담한 경기라고 할 수 있다. 체스를 두는 사람은 폰 따위의 말을 희생시키면서 경기를 풀어 나가지만, 귀류법의 논리를 펴는 수학자는 게임 자체를 담보로 잡기 때문이다.

-하디

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