집합과 명제(22)

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 명제 \( p \to q \)가 참이면 두 조건 \( p \), \( q \)에 새로운 이름을 붙여준다. 본문에서 이에 대해 알아보자.

충분조건과 필요조건

명제 \( p \to q \)가 참일 때, \( p \)는 \( q \)이기 위한 충분조건 \( q \)는 \( p \)이기 위한 필요조건

명제 \( p \to q \)가 참이고, 그 역 \( q \to p \)가 참일 때, \( p \)는 \( q \)이기 위한 필요충분조건

 두 집합 \( P \), \( Q \)를 각각 진리집합으로 가지는 두 조건 \( p \), \( q \)에 대하여 명제 \( p \to q \)가 참일 때, \( p \)는 \( q \)이기 위한 충분조건, \( q \)는 \( p \)이기 위한 필요조건이라고 한다. 여기서 조건 \( p \)를 만족하면 조건 \( q \)를 만족한다. 즉, 조건 \( q \)는 조건 \( p \)를 만족하기 위해 필수적인, 다시 말해 필요한 조건이다. 또한, 조건 \( q \)를 만족하기 위해서는 일반적으로 조건 \( p \)를 만족하는 원소들과 조건 \( p \)를 만족하지 않는 원소 일부가 필요하다. 그러므로 조건 \( p \)는 조건 \( q \)를 만족하기에 충분하다고 할 수 있다.

 충분조건과 필요조건을 진리집합을 통해 나타내면 다음과 같다.

\( p \)는 \( q \)이기 위한 충분조건	\( q \)는 \( p \)이기 위한 필요조건
\( P \subset Q \)	\( P \subset Q \)

 이는 위의 밴다이어그램을 통해 충분히 이해할 수 있으므로 자세한 설명은 생략하겠다.

필요충분조건

 앞서 언급한 명제는 한 방향으로의 진리값만을 조사해 조건에 충분조건과 필요조건이라는 이름을 붙였다. 이와 달리 명제와 그 역의 진리값이 모두 참인 명제 \( p \to q \)를 생각해볼 수 있다. 이러한 명제 \( p \to q \)에서는 \( p \)는 \( q \)이기 위한 충분조건이다. 그러나 동시에 그 역 \( q \to p \)도 참이므로 \( p \)는 \( q \)이기 위한 필요조건으로도 볼 수 있다. 즉, \( p \)는 \( q \)이기 위한 충분조건임과 동시에 필요조건이다. 이러한 조건 \( p \)를 \( q \)이기 위한 필요충분조건이라고 한다.

 \( p \)는 \( q \)이기 위한 필요충분조건을 진리집합을 통해 나타낼 수 있다. 필요충분조건은 충분조건임과 동시에 필요조건이므로 \( P \subset Q \)와 \( Q \subset P \)이므로 \( P = Q \)이다.

 

 

 

수학을 공부하지 않는 대부분의 사람에게는 믿기지 않게 보이는 일들이 있다.

-아르키메데스

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