집합과 명제(21)

※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

 중학교부터 우리는 수많은 정리를 배워 왔다. 이에 대하여 떠올려보면 '이 명제의 역은 성립한다.'나 '이 명제의 역은 성립하지 않는다.' 같은 문장을 읽어본 기억이 있을 것이다. 본문에서는 '역'과 '대우'에 대하여 알아볼 것이다.

명제의 역과 대우

명제 \( p \to q \)에 대하여 가정과 결론을 서로 바꿔 만든 명제 \( q \to q \)를 명제 \( p \to q \)의 역이라고 한다.

명제 \( p \to q \)에 대하여 가정과 결론을 각각 부정하여 서로 바꿔 만든 명제 \( \sim q \to \sim p \)를 명제 \( p \to q \)의 대우라고 한다.

 명제 \( p \to q \)에 대하여 그 가정과 결론을 서로 바꿔 새로운 명제를 만들 수 있다. 이렇게 만들어진 명제를 '역'이라고 한다. 또한 명제의 가정과 결론을 모두 부정하고 서로 바꿔 새로운 명제를 만들 수 있는데, 이를 '대우'라고 한다. 이 밖에도 명제의 가정과 결론을 모두 부정하여 만든 명제인 '이'라는 것이 있다.

명제	\( p \to q \)
역	\( q \to p \)
대우	\( \sim q \to \sim p \)
이	\( \sim p \to \sim q \)

명제와 그 역과 대우의 진리값

명제 \( p \to q \)와 그 역 \( q \to p \)의 진리값은 관계가 없다.

 많은 학생들이 명제에 대해 잘못 생각하고 있는 것 중 하나가 바로 명제와 그 역의 진리값이 일치한다거나 일치하지 않는다는 생각이다. 실제로는 명제의 진리값과 그 역의 진리값 간에는 아무런 관계가 없다. 예를 들어 알아보자. 먼저 명제 <4의 배수는 2의 배수이다.>의 역은 <2의 배수는 4의 배수이다.>이다. 여기서 앞선 명제는 참이며, 그 역은 거짓이다. 또 다른 예를 보면 명제 <3의 배수는 2의 배수이다.>의 역은 <2의 배수는 3의 배수이다.>이다. 여기서 명제와 그 역은 모두 거짓이다. 마지막으로 한 가지 예만 더 보자. 흔히 피타고라스의 정리라고 불리는 명제 <삼각형 ABC가 각 C가 90˚인 직각삼각형이면 \( a^{2}+b^{2} = c^{2} \)이다.>의 역은 <삼각형 ABC가 \( a^{2}+b^{2} = c^{2} \)이 성립하면 삼각형 ABC는 각 C가 90˚인 직각삼각형이다.>이다. 이 명제와 그 역은 모두 참이다. 이를 보면 알 수 있듯이 명제의 참과 거짓인 것과 그 역의 진리값은 관계없다.

명제 \( p \to q \)와 그 대우 \( \sim q \to \sim p \)의 진리값은 일치한다.

명제 \( p \to q \)가 참이면 그 대우 \( \sim q \to \sim p \) 또한 참이다. 명제 \( p \to q \)가 거짓이면 그 대우 \( \sim q \to \sim p \) 또한 거짓이다.

 명제와 그 대우의 진리값도 명제와 그 역의 진리값의 관계처럼 별다른 관계가 없을까? 결론부터 말하자면 명제와 그 대우의 진리값은 항상 일치한다. 진리집합이 각각 \( P \), \( Q \)인 조건 \( p \), \( q \)으로 이루어진 명제 \( p \to q \)를 참이라 가정하면 \( P \subset Q \)가 성립하게 되고, 이는 \( Q^{c} \subset P^{c} \)와 동치이므로 명제 \( \sim q \to \sim p \) 또한 참이다. 이때 명제 \( \sim q \to \sim p \)는 명제 \( p \to q \)의 대우이므로 명제가 참이면 그 대우는 참임이 성립한다. 반대로 명제 \( p \to q \)를 거짓이라 하면 \( P \not\subset Q \)기 성립하고, 이는 \( Q^{c} \not\subset P^{c} \)와 동치이므로 명제 \( \sim q \to \sim p \)가 거짓이다. 이때 명제 \( \sim q \to \sim p \)는 명제 \( p \to q \)의 대우이므로 명제가 거짓이면 그 대우는 거짓임이 성립한다. 따라서 명제와 그 대우의 진리값은 일치함을 알 수 있다.

 

 

 

수학적 진리의 거대한 성은 의심 많은 회의론자들의 공격에도 끄떡없고 흔들리지 않는다.

-버트란드 러셀

---