집합과 명제(20)

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 어떤 명제를 서술하다 보면 '모든 $x$에 대하여' 또는 '어떤 $x$에 대하여' 등 특별한 조건을 가정으로 가지는 명제가 있다. 본문에서 이러한 조건을 포함하여 서술되는 명제에 대하여 알아보자.

'모든'이나 '어떤'을 포함하여 서술되는 명제

전체집합 $U$에 대하여 조건 $p$의 진리집합을 $P$라고 할 때, 두 명제의 진리값은 아래 조건에 따라 결정된다.
모든 $x$에 대하여 $p$이다.		어떤 $x$에 대하여 $p$이다.
$P = U$	$P \ne U$	$P \ne \varnothing$	$P = \varnothing$
참	거짓	참	거짓

 '모든 $x$에 대하여'라는 조건은 '그 조건이 정의되는 집합 내, 즉 전체집합 내의 모든 원소에 대하여'라는 조건으로 이해할 수 있다. 그러므로 조건 '모든 $x$'의 진리집합은 전체집합 $U$가 된다. 또한, '어떤 $x$에 대하여'라는 조건은 '전체집합 내에 적어도 하나의 원소에 대하여' 또는 '전체집합 내의 원소 중 (후술될 조건을 만족하는) 적어도 하나의 원소가 존재한다.'로 이해할 수 있다. 그러므로 조건 '어떤 $x$에 대하여'의 진리집합은 전체집합 $U$의 부분집합 중 공집합 $\varnothing$이 아닌 집합이 된다. 그렇다면 '모든'이나 '어떤'을 포함하여 명제를 서술하고, 그 명제의 진리값을 판별해보자.

모든 $x$에 대하여 $p$이다.

 이 명제는 전체집합 내의 모든 원소가 조건 $p$를 만족하면 참이다. 다시 말해 전체집합 내의 원소 중 조건 $p$를 만족하지 않는 원소가 적어도 하나 존재하면 이 명제는 거짓이 된다. 그러므로 전체집합 $U$에 대하여 조건 $p$의 진리집합을 $P$라고 하면 $P = U$이면 이 명제는 참이며, $P \ne U$이면 이 명제는 거짓이다.

어떤 x에 대하여 p이다.

 이 명제는 전체집합 내의 원소 중 조건 $p$를 만족하는 원소가 적어도 하나 존재하면 이 명제는 참이 된다. 다시 말해 전체집합 내의 모든 원소가 조건 $p$를 만족하지 않으면 이 명제는 거짓이 된다. 그러므로 전체집합 $U$에 대하여 조건 $p$의 진리집합을 $P$라고 하면 $P \ne \varnothing$이면 이 명제는 참이며, $P = \varnothing$이면 이 명제는 거짓이다.

'모든'이나 '어떤'을 포함하여 서술되는 명제의 부정

명제	명제의 부정
모든 $x$에 대하여 $p$이다.	어떤 $x$에 대하여 $p$가 아니다 = 어떤 $x$에 대하여 $\sim p$이다.
어떤 $x$에 대하여 $p$이다.	모든 $x$에 대하여 $p$가 아니다. = 모든 $x$에 대하여 $\sim p$이다.

 '모든'이나 '어떤'을 포함하는 명제를 부정할 때는 주의할 점이 있다. 위에 서술된 내용을 잘 따라왔다면 아마 눈치챘을 수도 있다. 이러한 명제 또한 조건명제로 볼 수 있는데, 각 조건을 '모든 $x$', '어떤 $x$', '$p$'로 나눌 수 있다. 조건 명제를 부정할 때는 가정과 결론을 모두 부정해야 하므로 가정에 들어가는 '모든 $x$'와 '어떤 $x$'를 부정하고, 결론에 들어가는 '$p$'를 부정해야 한다. 결론부터 말하자면 '모든'의 부정은 '어떤'이고, '어떤'의 부정은 '모든'이다.

 예를 통해 알아보자. 전체집합 $U = \left\{ 1 \text{, } 2 \text{, } 3 \text{, } 4 \text{, } 5 \right\}$라고 하자. 전체집합 $U$의 '모든 원소'에 대하여 성립한다는 의미는 $U$의 원소에 대하여 진리값을 조사해봤을 때, 1에 대하여도, 2에 대하여도, 3에 대하여도, 4에 대하여도, 5에 대하여도 모두 참이라는 의미이다. 이를 부정하는 것은 1, 2, 3, 4, 5 중 하나라도 참이 아닌 것, 즉 거짓인 것이 존재한다는 의미이다. 이는 '어떤 원소'에 대하여 성립하지 않는다는 의미가 되므로 '모든'의 부정은 '어떤'이 된다.

 

 

 

수학은 최고의 결정권자이다. 일단 확정되면 더 이상의 항소는 없다.

-토비아스 단치히

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