집합과 명제(18)

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 이전 글에서 명제가 무엇인지 알아보면서 등식 \( x=-1 \)이나 부등식 \( x > 3 \) 같은 경우, 미지수 \( x \)의 값에 따라 그 식의 진릿값이 변하므로 명제가 아니라고 했다. 그러나 이들은 \( x \)의 값이 정해지면 식의 진릿값을 명확히 정할 수 있고, 이 성질을 이용해 적당한 조합을 거쳐 하나의 명제로 만들어 줄 수 있다. 이러한 식들을 '조건'이라고 한다. 본문에서는 이러한 '조건'에 대하여 알아볼 것이다.

조건

 조건이란 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 정해지는, 미지수를 포함하는 문장이나 식을 의미한다. 조건을 표현할 때, 명제를 표현하듯이 기호 \( p \)를 사용하거나, 조건에 사용된 미지수가 x일 경우, 그 미지수를 밝히기 위해 기호 \( p(x) \)를 사용한다.

진리집합

 앞서 언급한 바와 같이 조건은 미지수의 값에 따라 진리값이 정해진다. 그러므로 조건이 참이 되게 하는 값을 원소로 가지는 집합을 생각해볼 수 있는데, 이를 그 조건의 진리집합이라고 한다. 이 진리집합은 조건을 다루는 범위의 부분집합이 된다. 즉, 조건을 다루는 범위가 전체집합이 된다는 뜻이다. 예를 들어 모든 도형을 원소로 가지는 집합에 대하여 조건 \( p \)를 '\( x \)는 사각형'이라고 하면 조건 \( p \)의 진리집합 \( P \)는 모든 사각형을 원소로 가지는 집합이 된다.

조건의 부정

 조건 \( x = 1 \)이 존재하듯이 \( x \ne 1 \)이라는 조건을 생각해볼 수 있다. 즉, 명제를 부정하듯이 조건 또한 부정을 할 수 있다는 의미이다. 조건 \( p \)에 대하여 '\( p \)가 아니다.'라는 조건을 만들 수 있고, 이를 조건 \( p \)의 부정이라고 한다. 이 조건 '\( p \)가 아니다.'라는 조건은 기호 \( \sim p \)로 표현한다. 또한 조건 \( p \)를 거짓이 되게 하는 원소가 그 부정 \( \sim p \)를 참이 되게 하므로 조건 \( p \)의 진리집합을 \( P \)라고 하면 조건 \( \sim p \)의 진리집합은 \( P^{c} \)가 된다.

 여기서 주의할 점은 조건 \( p(x) \)의 부정은 \( p(-x) \)가 아니라는 점이다. 예를 들어 모든 실수를 원소로 하는 집합 \( R \)을 전체집합으로 하는 조건 \( p(x) \)에 대하여 \( p(x) \)를 \( x=4 \)라고 정의하면 이 조건의 진리집합 \( P \)는 \( \left\{ 4 \right\} \)가 된다. 이와 같이 조건 \( p(x) \)가 정의되었으므로 조건 \( p(-x) \)는 \( -x=4 \)가 된다. 그러므로 조건 \( p(-x) \)의 진리집합 \( Q \)는 \( \left\{ -4 \right\} \)가 된다. 그러므로 조건 \( \sim p(x) \)의 진리집합 \( P^{c} \)는 \( Q \)와 같지 않다. 그러므로 \( p(-x) \)는 조건 \( p(x) \)의 부정이 될 수 없다.

 

 

 

이 세상의 이치는 수학 지식 없이 알아낼 수가 없다.

-로저 베이컨

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