집합과 명제(16)

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 수학에서는 어떤 대상을 탐구하기 위해 여러 방법을 생각했으며, 그중 증명 등 여러 논리를 펼치기 위해 명제라는 개념을 도입했다. 본문에서는 명제에 대해 알아볼 것이다.

명제

 참이나 거짓을 명확하게 판단할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 한다. 예를 들어 '2는 소수이다.'라는 문장은 참인 명제이며, '4는 무리수이다.'라는 문장은 거짓인 명제이다. 그러나 '피자는 맛있다.'라는 문장은 그 문장의 진릿값을 명확하게 판단할 수 없기에 명제가 아니다. 식에서도 마찬가지이다. 부등식 \( 6 > 0 \)은 6이 0보다 크므로 참인 명제이고, 등식 \( 4-3=2-5 \)는 (4-3)이 (2-5)보다 크므로 거짓인 명제이다. 그러나 등식 \( x = 1 \)은 \( x \)의 값에 따라 등식의 참과 거짓이 달라지므로 등식의 진릿값이 명확하게 판단할 수 없다. 그러므로 등식 \( x = 1 \)은 명제가 아니다. 여기서 명제의 진릿값이란 어떤 명제가 참과 거짓이 결정될 때, 그 참과 거짓을 의미한다.

명제의 부정

 명제가 참과 거짓이 명확히 판단할 수 있는 것이라면 어떤 명제 \( p \)에 대하여 '\( p \)가 아니다.'라는 문장을 만들 수 있고, 이 또한 명제 \( p \)의 진릿값과 반대되는 진릿값을 가지게 되므로 이 문장 역시 명제이다. 그러므로 우리는 이 문장 '\( p \)가 아니다.'라는 문장을 '명제 \( p \)의 부정'이라고 한다. 이를 기호로 다음과 같이 나타낸다.

$$ \sim p $$

 명제 \( p \)와 그 부정 \( \sim p \)는 다음과 같은 관계가 있다.

명제 \( p \)가 참이면 \( \sim p \)는 거짓이고, 명제 \( p \)가 거짓이면 \( \sim p \)는 참이다.

명제 \( \sim p \)의 부정 \( \sim \left( \sim p \right) \)는 \( p \)이다.

 

 

 

수학은 언어보다 더 오래된 진리의 참된 소통 도구다.

-구야

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