대수(8)

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 복소수 집합 내에서 수행하는 연산의 대부분은 실수 집합 내에서 수행하는 연산과 크게 다르지 않다. 그러나 허수단위 \( i \)의 정의로 인해 곱셈 연산에서 약간의 차이를 보이게 되는데, 복소수의 실수부분이 0이고 허수부분이 1일 경우, 다시 말해 허수단위 \( i \)의 거듭제곱에서 특이한 성질을 가지게 된다. 본문에서는 이러한 허수단위 \( i \)의 거듭제곱에 대해 알아볼 것이다.

허수단위 \( i \)의 거듭제곱

 먼저 허수단위 \( i \)의 거듭제곱의 결과를 나타내 보자.

$$ \begin{matrix} i^{1} = i & & i^{2} = -1 & & i^{3} = -i & & i^{4} = 1 \\ i^{5} = i & & i^{6} = -1 & & i^{7} = -i & & i^{8} = 1 \\ i^{9} = i & & i^{10} = -1 & & i^{11} = -i & & i^{12} = 1 \\ & & & \vdots & & & \\ i^{4k-3} = i & & i^{4k-2} = -1 & & i^{4k-1} = -i & & i^{4k} = 1 \end{matrix} $$

$$ k \text{는 임의의 자연수} $$

이 거듭제곱의 나열을 보면 \( i \), -1, \( -i \), 1이 순환하며 반복되는 구조로 되어 있음을 알 수 있다. 이 순환성이 허수단위 \( i \)의 거듭제곱의 가장 큰 성질이다.

허수단위 \( i \)의 거듭제곱을 도식화한 그림

 이 성질을 이용하면 \( i \)의 거듭제곱에서 지수에 충분히 큰 자연수가 들어있어도 그 지수를 4로 나눈 뒤 나오는 나머지를 이용해 그 거듭제곱의 값이 무엇인지 바로 알 수 있다. 예를 들어 \( i^{100} \)의 경우, 4로 나눈 나머지가 0이므로, 다시 말해 4의 배수이므로 그 값은 1이다. 또한 \( i^{999} \)의 경우, 4로 나눈 나머지가 3이므로 그 값은 \( -i \)이다.

 

 

 

만약 어떤 사람의 재치가 종잡을 수 없다면, 그에게 수학을 가르쳐라.

-프랜시스 베이컨

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