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복소수 집합 내에서 수행하는 연산의 대부분은 실수 집합 내에서 수행하는 연산과 크게 다르지 않다. 그러나 허수단위 ii의 정의로 인해 곱셈 연산에서 약간의 차이를 보이게 되는데, 복소수의 실수부분이 0이고 허수부분이 1일 경우, 다시 말해 허수단위 ii의 거듭제곱에서 특이한 성질을 가지게 된다. 본문에서는 이러한 허수단위 ii의 거듭제곱에 대해 알아볼 것이다.
허수단위 ii의 거듭제곱
먼저 허수단위 ii의 거듭제곱의 결과를 나타내 보자.
i1=ii2=−1i3=−ii4=1i5=ii6=−1i7=−ii8=1i9=ii10=−1i11=−ii12=1⋮i4k−3=ii4k−2=−1i4k−1=−ii4k=1i1=ii2=−1i3=−ii4=1i5=ii6=−1i7=−ii8=1i9=ii10=−1i11=−ii12=1⋮i4k−3=ii4k−2=−1i4k−1=−ii4k=1
k는 임의의 자연수
이 거듭제곱의 나열을 보면 i, -1, −i, 1이 순환하며 반복되는 구조로 되어 있음을 알 수 있다. 이 순환성이 허수단위 i의 거듭제곱의 가장 큰 성질이다.

이 성질을 이용하면 i의 거듭제곱에서 지수에 충분히 큰 자연수가 들어있어도 그 지수를 4로 나눈 뒤 나오는 나머지를 이용해 그 거듭제곱의 값이 무엇인지 바로 알 수 있다. 예를 들어 i100의 경우, 4로 나눈 나머지가 0이므로, 다시 말해 4의 배수이므로 그 값은 1이다. 또한 i999의 경우, 4로 나눈 나머지가 3이므로 그 값은 −i이다.
만약 어떤 사람의 재치가 종잡을 수 없다면, 그에게 수학을 가르쳐라.
-프랜시스 베이컨
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