대수(9)

※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

 대부분의 독자들은 중학교에서 제곱근의 연산에 대해 배웠을 것이다. 당시 이 연산은 제곱근 안에 양수가 들어있는 경우에 한하여 다루었을 것이다. 그러나 우리는 허수에 대해 배웠고, 이를 이용해 음수의 제곱근 또한 연산에 포함시킬 수 있다. 본문에서는 음수의 제곱근을 포함한 연산에 대해 알아볼 것이다.

음수의 제곱근

임의의 양수 \( a \)에 대하여 \( \sqrt{-a} = \sqrt{a} i \)

두 제곱근의 곱 - \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)

임의의 두 음수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = -\sqrt{ab} \)

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a \), \( b \) 중 적어도 하나가 양수이면 \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)

양수-양수

 이는 중학교에서 배운 것과 같이 \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)로 계산하면 된다. 양수의 제곱근 간에 계산하는 것은 문제가 없다 그렇다면 계산식에 음수의 제곱근을 포함하는 경우에도 동일한 결과가 나올까?

양수-음수

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a>0 \), \( b<0 \)라고 하면

\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a} \times \sqrt{-b} i \)

이때, \( a>0 \), \( -b>0 \)이므로 \( \sqrt{a} \times \sqrt{-b} = \sqrt{ -ab } \)

따라서 \( \sqrt{ a } \times \sqrt{-b} i = \sqrt{ -ab } i = \sqrt{ab} \)이므로

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a>0 \), \( b<0 \)일 때,

\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)가 성립한다.

음수-음수

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a<0 \), \( b<0 \)라고 하면

\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{-a} i \times \sqrt{-b} i \)

이때, \( -a>0 \) \( -b>0 \)이므로 \( \sqrt{-a} \times \sqrt{-b} = \sqrt{ ab } \)

또 허수단위 \( i \)의 정의에 의하여 \( i^{2} = -1 \)

따라서 \( \sqrt{ -a } i \times \sqrt{-b} i = \sqrt{ -ab } i = -\sqrt{ab} \)이므로

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a<0 \), \( b<0 \)일 때,

\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = -\sqrt{ab} \)가 성립한다.

 즉, 허수단위 \( i \)로 인해 계산의 결과가 달라질 수 있다. 필자 개인적으로는 음수의 제곱근에서 항상 허수단위 \( i \)를 빼내어 양수의 제곱근과 허수단위의 곱으로 표현하여 식을 계산해왔다. 이 방법을 통해 귀찮지만 헷갈리지 않고, 조금 더 정확히 계산할 수 있었다.

제곱근 간의 나눗셈 - \( \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } \)

임의의 두 실수 a, b에 대하여 \( a<0 \), \( b>0 \)이면 $$ \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = -\sqrt{ \frac{ b }{ a } } $$

임의의 두 실수 a, b에 대하여 \( a>0 \)이면 $$ \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = \sqrt{ \frac{ b }{ a } } $$

양수(분모)-양수(분자)

 이는 중학교에서 배운 것과 같이 \( \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = \sqrt{ \frac{ b }{ a } } \)로 계산하면 된다. 양수의 제곱근 간에 계산하는 것은 문제가 없다 그렇다면 계산식에 음수의 제곱근을 포함하는 경우에도 동일한 결과가 나올까?

양수(분모)-음수(분자)

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a>0 \), \( b<0 \)라고 하면

$$ \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = \frac{ \sqrt{-b} i }{ \sqrt{a} } = \frac{ \sqrt{-b} }{ \sqrt{a} } i $$

이때, \( a>0 \), \( -b>0 \)이므로 \( \frac{ \sqrt{-b} }{ \sqrt{a} } = \sqrt{ -\frac{ b }{ a } } \)

따라서 \( \frac{ \sqrt{-b} }{ \sqrt{a} } i = \sqrt{ -\frac{ b }{ a } } i = \sqrt{ \frac{ b }{ a } } \)이므로

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a>0 \), \( b<0 \)일 때,

\( \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = \sqrt{ \frac{ b }{ a } } \)가 성립한다.

음수(분모)-음수(분자)

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a<0 \), \( b<0 \)라고 하면

$$ \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = \frac{ \sqrt{-b} i }{ \sqrt{-a} i } $$

분모와 분자에 각각 \( i \)를 곱해주면

$$ \frac{ \sqrt{-b} i }{ \sqrt{-a} i } = \frac{ \sqrt{-b} i \times i }{ \sqrt{-a} i \times i } = \frac{ -\sqrt{-b} }{ -\sqrt{-a} } = \frac{ \sqrt{-b} }{ \sqrt{-a} } $$

이때, \( -a>0 \), \( -b>0 \)이므로 \( \frac{ \sqrt{-b} }{ \sqrt{-a} } = \sqrt{ \frac{ b }{ a } } \)

따라서 임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a>0 \), \( b<0 \)일 때,

\( \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = \sqrt{ \frac{ b }{ a } } \)가 성립한다.

음수(분모)-양수(분자)

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a<0 \), \( b>0 \)라고 하면

$$ \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{-a} i } $$

분모와 분자에 각각 \( i \)를 곱해주면

$$ \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{-a} i } = \frac{ \sqrt{b} \times i }{ \sqrt{-a} i \times i } = \frac{ \sqrt{b} i }{ -\sqrt{-a} } = -\frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{-a} } i $$

이때, \( -a>0 \), \( b>0 \)이므로 \( \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{-a} } = \sqrt{ -\frac{ b }{ a } } \)

따라서 \( -\frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{-a} } i = -\sqrt{ -\frac{ b }{ a } } i = -\sqrt{ \frac{ b }{ a } } \)이므로

임의의 두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a<0 \), \( b>0 \)일 때,

\( \frac{ \sqrt{b} }{ \sqrt{a} } = -\sqrt{ \frac{ b }{ a } } \)가 성립한다.

 즉, 허수단위 \( i \)로 인해 계산의 결과가 달라질 수 있다. 제곱근 간의 나눗셈에서 음수의 제곱근이 포함될 경우 값이 달라질 수 있는 것은 허수단위 \( i \)에 의한 분모의 실수화 때문이다.

 

 

 

보라 신비가 수학을 향해 날개짓하는 것을!

-알렉산더 포프

---