집합과 명제(17)

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 어떠한 명제가 참인지 거짓인지 알기 위해서는 논리적인 설명이 필요하고, 논리적인 설명을 위해서는 설명에 쓰이는 용어에 대한 명확한 뜻을 밝혀야 한다. 본문에서는 이러한 과정을 위해 필요한 기본적인 용어들에 대해 알아볼 것이다.

정의

 정의란 어떤 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장을 의미한다. 예를 들어 정다면체의 정의는 '모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어지며, 각 꼭짓점에 모이는 면의 수와 각 꼭짓점에서의 입체각의 크기가 동일한 다면체'이다. 또한 입실론-델타 논법을 이용한 함수 \( f \): \( E \to R \)의 극한 \( \lim_{x \to a}{ f(x) } = L \)의 정의는 다음과 같다.

\( \forall \epsilon > 0 \text{, } \exists \delta > 0 \text{, } \forall x \in E: 0 < \left| x-a \right| < \delta \to \left| f(x) -L \right| < \epsilon \)

이러한 정의들은 각 용어의 뜻을 명확하게 설명할 수 있는 명제로, 각 용어마다 단 하나의 정의만을 약속한다. 그러므로 정의는 참인 명제이다.

정리

 정리란 이미 참임이 증명된 명제 중 다른 명제를 증명하는데 이용할 수 있는 것을 의미한다. 예를 들어 평행사변형은 두 쌍의 마주보는 변이 서로 평행한 사각형을 의미한다. 이러한 정의를 가지는 평행사변형은 ' 두 쌍의 마주보는 변의 길이가 서로 같다.', '마주보는 두 변이 서로 평행하고, 평행한 그 두 변의 길이가 서로 같다.' 등의 몇 가지 성질을 가지는데, 이 성질들은 모두 참인 명제이고, 평행사변형임을 증명하는데 이용할 수 있으므로 정리라고도 할 수 있다. 이렇듯 대부분의 참인 명제는 증명에 이용할 수 있으므로 정리라고 봐도 무방하다.

증명

 증명이란 정의 또는 정리를 이용하여 어떤 명제가 참 또는 거짓임을 설명하는 것을 의미한다. 즉, 명제의 진리값을 판별하고, 왜 그런 진리값이 나왔는지 논리적으로 설명하는 것이라고 말할 수 있다. 일반적으로 어떤 명제를 증명한다는 것은 그 명제가 참임을 설명하는 것으로 받아들인다.

 

 

 

수학적 발견의 원동력은 논리적인 추론이 아니고 상상력이다.

-드모르간

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