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수학/고등학생을 위한 수학

집합과 명제(19)

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 여러 조건을 적절히 조합하면 하나의 명제로 만들 수 있고, 이렇게 조건의 조합을 통해 만들어진 명제를 조건명제라고 한다. 본문에서는 조건명제에 대해 알아볼 것이다.

조건명제

 두 조건 \( p \), \( q \)에 대하여 '\( p \)이면 \( q \)이다.'라는 명제를 생각할 수 있다. 이처럼 여러 조건을 적절히 조합하여 하나의 명제로 만들 수 있는데, 이를 조건명제라고 한다. 이 명제에서 \( p \)를 이 명제의 가정, \( q \)를 이 명제의 결론이라고 한다. 예를 들어 명제 '\( x=4 \)이면 \( x^{2}+2 = 18 \)이다.'는 두 조건 '\( x = 4 \)이다.', '\( x^{2}+2 = 18 \)이다.'의 조합으로 만들어진 명제이며, 이 명제에서 조건 '\( x = 4 \)이다.'는 가정, 조건 '\( x^{2}+2 = 18 \)이다.'는 결론이 된다. 명제 '\( p \)이면 \( q \)이다.'는 아래의 기호로 표현한다.

$$ p \to q $$

조건명제의 참과 거짓

두 조건 \( p \), \( q \)의 진리집합을 각각 \( P \), \( Q \)라고 할 때,
\( P \subset Q \)이면 명제 \( p \to q \)는 참이다.
\( P \not\subset Q \)이면 명제 \( p \to q \)는 거짓이다.

 두 조건 \( p \), \( q \)에 대하여 명제 \( p \to q \)의 참과 거짓을 판별해보자. 먼저 두 조건 \( p \), \( q \)의 진리집합을 각각 \( P \), \( Q \)라고 하자. 이 명제에서 우리는 가정된 범위만을 다룬다. 이는 명제 \( p \to q \)의 진리값을 판별할 범위는 집합 \( P \)에 한정한다고도 말할 수 있다. 그러므로 집합 \( P \)의 모든 원소가 조건 \( q \)를 만족시키는 원소가 되면 명제 \( p \to q \)가 참이 된다. 다시 말해 집합 \( P \)의 모든 원소가 집합 \( Q \)에 속한다고 할 수 있다. 즉, 집합 \( P \)가 집합 \( Q \)의 부분집합이면 명제 \( p \to q \)는 참이다. 그러므로 집합 \( P \)가 집합 \( Q \)의 부분집합이 아니면 명제 \( p \to q \)는 거짓이다.

 명제 \( p \to q \)가 거짓임을 증명하는 경우 또한 존재하는데, 이 경우 반례를 찾아 간단히 증명할 수 있다. 여기서 반례명제 \( p \to q \)가 거짓임을 밝히기 위해 가전 \( p \)를 만족하면서 결론 \( q \)를 만족하지 않는 원소를 말한다. 진리집합을 이용해 표현한다면 집합 \( P-Q \)에 속하는 원소를 의미한다.

 

 

 

어떤 주장이 널리 받아들여졌음이 그 주장의 타당성을 조금도 뒷받침하지 못한다.

-버트란드 러셀


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