대수(10)

※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

 켤레복소수는 특별한 성질을 가지고 있다. 켤레복소수가 가지는 특별한 성질은 복소수 간의 연산을 편리하게 해준다. 본문에서는 이러한 켤레복소수의 성질에 대해 알아볼 것이다.

켤레복소수의 성질

임의의 복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\bar{z}$에 대하여 $\overline{\left(\stackrel{―}{z}\right)}=z$

$z=a+bi$ ($a$, $b$는 실수)라고 두면 $\bar{z}=a-bi$이므로

$\overline{\left(\stackrel{―}{z}\right)}=\overline{(a-bi)}=a+bi=z$

$\therefore \overline{\left(\stackrel{―}{z}\right)}=z$가 성립한다.

임의의 복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\bar{z}$에 대하여 $z+\bar{z}=k$인 실수 $k$가 존재한다.

$z=a+bi$ ($a$, $b$는 실수)라고 두면 $\bar{z}=a-bi$이므로

$z+\bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a$

이때, $2a$는 실수이므로

임의의 복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\bar{z}$에 대하여

$z+\bar{z}=k$인 실수 $k$가 존재한다.

임의의 복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\bar{z}$에 대하여 $z\bar{z}=k$인 실수 $k$가 존재한다.

$z=a+bi$ ($a$, $b$는 실수)라고 두면 $\bar{z}=a-bi$이므로

$z\bar{z}=(a+bi)\times (a-bi)=a^2+b^2$

이때, ($a^2+b^2$)는 실수이므로

임의의 복소수 $z$와 그 켤레복소수 $\bar{z}$에 대하여

$z\bar{z}=k$인 실수 $k$가 존재한다.

임의의 두 복소수 $z_1$, $z_2$와 그 켤레복소수 $\overline{z_1}$, $\overline{z_2}$에 대하여 $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$, $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$

$z_1=a_1+b_{1}i$, $z_2=a_2+b_{2}i$ ($a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$는 실수)라고 두면

$\overline{z_1}=a_1-b_{1}i$, $\overline{z_2}=a_2-b_{2}i$

$z_1+z_2=a_1+a_2+(b_1+b_2)i$이므로

$\overline{z_1+z_2}=a_1+a_2-(b_1+b_2)i=a_1-b_{1}i+a_2-b_{2}i=\overline{z_1}+\overline{z_2}$

$\therefore \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$

마찬가지로 $z_1-z_2=a_1-a_2+(b_1-b_2)i$이므로

$\overline{z_1-z_2}=a_1-a_2-(b_1-b_2)i=a_1-b_{1}i-(a_2-b_{2}i)=\overline{z_1}-\overline{z_2}$

$\therefore \overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$가 성립한다.

임의의 두 복소수 $z_1$, $z_2$와 그 켤레복소수 $\overline{z_1}$, $\overline{z_2}$에 대하여 $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\times \overline{z_2}$

$z_1=a_1+b_{1}i$, $z_2=a_2+b_{2}i$ ($a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$는 실수)라고 두면

$\overline{z_1}=a_1-b_{1}i$, $\overline{z_2}=a_2-b_{2}i$

$z_1{z}_2=(a_1+b_{1}i)\times (a_2+b_{2}i)=a_1{a}_2-b_1{b}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$이므로

$\overline{z_1{z}_2}=a_1{a}_2-b_1{b}_2-(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$

이때, $\overline{z_1}\times \overline{z_2}=(a_1-b_{1}i)\times (a_2-b_{2}i)=a_1{a}_2-b_1{b}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$이므로

$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\times \overline{z_2}$

$\therefore$ 임의의 두 복소수 $z_1$, $z_2$와 그 켤레복소수 $\overline{z_1}$, $\overline{z_2}$에 대하여

$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\times \overline{z_2}$가 성립한다.

임의의 두 복소수 $z_1$, $z_2$ ($z_2\ne 0$)와 그 켤레복소수 $\overline{z_1}$, $\overline{z_2}$에 대하여 $$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

$z_1=a_1+b_{1}i$, $z_2=a_2+b_{2}i$ ($a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$는 실수)라고 두면

$\overline{z_1}=a_1-b_{1}i$, $\overline{z_2}=a_2-b_{2}i$

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1+b_{1}i}{a_2+b_{2}i}=\frac{(a_1+b_{1}i)(a_2-b_{2}i)}{(a_2+b_{2}i)(a_2-b_{2}i)}=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+(a_2{b}_1-a_1{b}_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}$$

$$\text{따라서 }\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2-(a_2{b}_1-a_1{b}_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}$$

$$\text{이때, }\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\frac{a_1-b_{1}i}{a_2-b_{2}i}=\frac{(a_1-b_{1}i)(a_2+b_{2}i)}{(a_2-b_{2}i)(a_2+b_{2}i)}=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+(a_2{b}_1-a_1{b}_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}\text{이므로}$$

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

$\therefore$ 임의의 두 복소수 $z_1$, $z_2$와 그 켤레복소수 $\overline{z_1}$, $\overline{z_2}$에 대하여

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\text{가 성립한다.}$$

 

 

 

아무리 추상적인 수학 분야라도 언젠가는 실세계 현상에 응용될 것이다.

-로바체프스키

---