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켤레복소수는 특별한 성질을 가지고 있다. 켤레복소수가 가지는 특별한 성질은 복소수 간의 연산을 편리하게 해준다. 본문에서는 이러한 켤레복소수의 성질에 대해 알아볼 것이다.
켤레복소수의 성질
| 임의의 복소수 \( z \)와 그 켤레복소수 \( \overline{z} \)에 대하여 \( \overline{ \left( \overline{z} \right) } = z \) |
\( z = a+bi \) (\( a \), \( b \)는 실수)라고 두면 \( \overline{ z } = a-bi \)이므로
\( \overline{ \left( \overline{ z } \right) } = \overline{ \left( a-bi \right) } = a+bi = z \)
\( \therefore \overline{ \left( \overline{ z } \right) } = z \)가 성립한다.
| 임의의 복소수 \( z \)와 그 켤레복소수 \( \overline{z} \)에 대하여 \( z +\overline{z} = k \)인 실수 \( k \)가 존재한다. |
\( z = a+bi \) (\( a \), \( b \)는 실수)라고 두면 \( \overline{ z } = a-bi \)이므로
\( z +\overline{ z } = \left( a+bi \right) +\left( a-bi \right) = 2a \)
이때, \( 2a \)는 실수이므로
임의의 복소수 \( z \)와 그 켤레복소수 \( \overline{ z } \)에 대하여
\( z +\overline{z} = k \)인 실수 \( k \)가 존재한다.
| 임의의 복소수 \( z \)와 그 켤레복소수 \( \overline{z} \)에 대하여 \( z \overline{z} = k \)인 실수 \( k \)가 존재한다. |
\( z = a+bi \) (\( a \), \( b \)는 실수)라고 두면 \( \overline{ z } = a-bi \)이므로
\( z \overline{ z } = \left( a+bi \right) \times \left( a-bi \right) = a^{2}+b^{2} \)
이때, (\( a^{2}+b^{2} \))는 실수이므로
임의의 복소수 \( z \)와 그 켤레복소수 \( \overline{ z } \)에 대하여
\( z \overline{z} = k \)인 실수 \( k \)가 존재한다.
| 임의의 두 복소수 \( z_{1} \), \( z_{2} \)와 그 켤레복소수 \( \overline{ z_{1} } \), \( \overline{ z_{2} } \)에 대하여 \( \overline{ z_{1}+z_{2} } = \overline{ z_{1} } +\overline{ z_{2} } \), \( \overline{ z_{1}-z_{2} } = \overline{ z_{1} } -\overline{ z_{2} } \) |
\( z_{1} = a_{1} +b_{1} i \), \( z_{2} = a_{2} +b_{2} i \) (\( a_{1} \), \( a_{2} \), \( b_{1} \), \( b_{2} \)는 실수)라고 두면
\( \overline{ z_{1} } = a_{1} -b_{1} i \), \( \overline{ z_{2} } = a_{2} -b_{2} i \)
\( z_{1}+z_{2} = a_{1} +a_{2} +\left( b_{1}+b_{2} \right) i \)이므로
\( \overline{ z_{1}+z_{2} } = a_{1} +a_{2} -\left( b_{1}+b_{2} \right) i = a_{1}-b_{1} i +a_{2} -b_{2} i = \overline{ z_{1} } +\overline{ z_{2} } \)
\( \therefore \overline{ z_{1}+z_{2} } = \overline{ z_{1} } +\overline{ z_{2} } \)
마찬가지로 \( z_{1}-z_{2} = a_{1} -a_{2} +\left( b_{1} -b_{2} \right) i \)이므로
\( \overline{ z_{1} -z_{2} } = a_{1} -a_{2} -\left( b_{1}-b_{2} \right) i = a_{1}-b_{1} i -\left( a_{2} -b_{2} i \right) = \overline{ z_{1} } -\overline{ z_{2} } \)
\( \therefore \overline{ z_{1}-z_{2} } = \overline{ z_{1} } -\overline{ z_{2} } \)가 성립한다.
| 임의의 두 복소수 \( z_{1} \), \( z_{2} \)와 그 켤레복소수 \( \overline{ z_{1} } \), \( \overline{ z_{2} } \)에 대하여 \( \overline{ z_{1} z_{2} } = \overline{ z_{1} } \times \overline{ z_{2} } \) |
\( z_{1} = a_{1} +b_{1} i \), \( z_{2} = a_{2} +b_{2} i \) (\( a_{1} \), \( a_{2} \), \( b_{1} \), \( b_{2} \)는 실수)라고 두면
\( \overline{ z_{1} } = a_{1} -b_{1} i \), \( \overline{ z_{2} } = a_{2} -b_{2} i \)
\( z_{1} z_{2} = \left( a_{1} +b_{1} i \right) \times \left( a_{2} +b_{2} i \right) = a_{1}a_{2} -b_{1}b_{2} +\left( a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} \right) i \)이므로
\( \overline{ z_{1} z_{2} } = a_{1}a_{2} -b_{1}b_{2} -\left( a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} \right) i \)
이때, \( \overline{ z_{1} } \times \overline{ z_{2} } = \left( a_{1} -b_{1} i \right) \times \left( a_{2} -b_{2} i \right) = a_{1}a_{2} -b_{1}b_{2} +\left( a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} \right) i \)이므로
\( \overline{ z_{1} z_{2} } = \overline{ z_{1} } \times \overline{ z_{2} } \)
\( \therefore \) 임의의 두 복소수 \( z_{1} \), \( z_{2} \)와 그 켤레복소수 \( \overline{ z_{1} } \), \( \overline{ z_{2} } \)에 대하여
\( \overline{ z_{1} z_{2} } = \overline{ z_{1} } \times \overline{ z_{2} } \)가 성립한다.
| 임의의 두 복소수 \( z_{1} \), \( z_{2} \) (\( z_{2} \ne 0 \))와 그 켤레복소수 \( \overline{ z_{1} } \), \( \overline{ z_{2} } \)에 대하여 $$ \overline{ \left( \frac{ z_{1} }{ z_{2} } \right) } = \frac{ \overline{ z_{1} } }{ \overline{ z_{2} } } $$ |
\( z_{1} = a_{1} +b_{1} i \), \( z_{2} = a_{2} +b_{2} i \) (\( a_{1} \), \( a_{2} \), \( b_{1} \), \( b_{2} \)는 실수)라고 두면
\( \overline{ z_{1} } = a_{1} -b_{1} i \), \( \overline{ z_{2} } = a_{2} -b_{2} i \)
$$ \frac{ z_{1} }{ z_{2} } = \frac{ a_{1} +b_{1} i }{ a_{2} +b_{2} i } = \frac{ \left( a_{1} +b_{1} i \right) \left( a_{2} -b_{2} i \right) }{ \left( a_{2} +b_{2} i \right) \left( a_{2} -b_{2} i \right) } = \frac{ a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2} +\left( a_{2}b_{1} -a_{1}b_{2} \right) i }{ { a_{2} }^{2} +{ b_{2} }^{2} } $$
$$ \text{따라서 } \overline{ \left( \frac{ z_{1} }{ z_{2} } \right) } = \frac{ a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2} -\left( a_{2}b_{1} -a_{1}b_{2} \right) i }{ { a_{2} }^{2} +{ b_{2} }^{2} } $$
$$ \text{이때, } \frac{ \overline{ z_{1} } }{ \overline{ z_{2} } } = \frac{ a_{1} -b_{1} i }{ a_{2} -b_{2} i } = \frac{ \left( a_{1} -b_{1} i \right) \left( a_{2} +b_{2} i \right) }{ \left( a_{2} -b_{2} i \right) \left( a_{2} +b_{2} i \right) } = \frac{ a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2} +\left( a_{2}b_{1} -a_{1}b_{2} \right) i }{ { a_{2} }^{2} +{ b_{2} }^{2} } \text{이므로} $$
$$ \overline{ \left( \frac{ z_{1} }{ z_{2} } \right) } = \frac{ \overline{ z_{1} } }{ \overline{ z_{2} } } $$
\( \therefore \) 임의의 두 복소수 \( z_{1} \), \( z_{2} \)와 그 켤레복소수 \( \overline{ z_{1} } \), \( \overline{ z_{2} } \)에 대하여
$$ \overline{ \left( \frac{ z_{1} }{ z_{2} } \right) } = \frac{ \overline{ z_{1} } }{ \overline{ z_{2} } } \text{가 성립한다.} $$
아무리 추상적인 수학 분야라도 언젠가는 실세계 현상에 응용될 것이다.
-로바체프스키
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