집합과 명제(15)

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집합은 여러 원소로 구성되며, 구성하는 원소의 개수가 곧 집합의 크기를 결정한다. 이러한 집합의 크기는 그 집합의 원소의 개수가 직접 제시되어 있다면 문제 없이 구할 수 있다. 그러나 원소의 개수를 직접적으로 제시해주지 않으면 제시되어 있는 정보를 통해 원하는 정보를 유추해야 한다. 본문에서는 이러한 집합의 크기를 유추하기 위해 사용되는 정리에 대해 다룰 것이다.

유한집합의 원소의 개수

어떤 집합의 원소의 개수를 셀 수 있다는 말은 곧 그 집합이 유한집합이라는 의미가 된다. 그러므로 본문에서도 유한집합의 원소의 개수를 유추하는 것에 집중할 것이다. 집합의 개수를 세기에 앞서 한 가지 함수를 정의하자.

함수 \( n(A) \)를 집합 \( A \)의 원소의 개수를 함숫값으로 가지는 함수라고 정의한다.

이 정의에 따르면 두 집합 \( P \), \( Q \)에 대하여

\( P = \left\{ 1 \text{, } 2 \text{, } 3 \right\} \), \( Q = \left\{ \varnothing \text{, } \left\{ 1 \right\} \text{, } \left\{ 2 \right\} \text{, } \left\{ 3 \right\} \text{, } \left\{ 1 \text{, } 2 \right\} \text{, } \left\{ 2 \text{, } 3 \right\} \text{, } \left\{ 1 \text{, } 3 \right\} \text{, } \left\{ 1 \text{, } 2 \text{, } 3 \right\} \right\} \)라고 하면

\( n(P) = 3 \), \( n(Q) = 8 \)이 된다. 이 함수의 정의를 따라 집합의 원소의 개수를 유추해보자.

임의의 두 집합 \( A \), \( B \)에 대하여
\( n( A \cup B ) +n( A \cap B ) = n( A ) +n( B ) \)

두 집합의 원소의 개수를 합하면 두 집합의 합집합의 원소의 개수와 항상 같을까? 아니다. 두 집합의 원소의 개수를 합하면 그 두 집합의 교집합의 원소가 겹치므로 그 두 집합의 교집합의 원소의 개수만큼 원소의 개수가 더 많아지게 된다. 그러므로 두 집합의 원소의 개수의 합은 두 집합의 합집합의 원소의 개수에 교집합의 원소의 개수를 더한 값과 같아지게 된다.

그러므로 임의의 두 집합 \( A \), \( B \)에 대하여 \( n( A \cup B ) +n( A \cap B ) = n( A ) +n( B ) \)가 성립한다.

아마 이 식은 \( \n( A \cup B ) = n( A ) +n( B ) -n( A \cap B ) \)로 알고 있는 독자가 더 많을 것이다. 많은 문제집에서도 이렇게 알려주기 때문에 더더욱 그럴 것이라 생각한다. 그러나 과거 필자는 이 간단한 식이 외워지질 않았고, 그래서 동일한 의미로 식의 형태를 바꾸어 \( \( n( A \cup B ) +n( A \cap B ) = n( A ) +n( B ) \) \)로 외웠다.

전체집합 \( U \)의 한 부분집합 \( A \)에 대하여
\( n( A ) +n( A^{c} ) = n( U ) \)

어떤 집합이든지 그 집합의 여집합과는 항상 서로소이며, 두 집합의 합집합은 항상 전체집합이 된다. 그러므로 두 집합의 원소의 개수를 합하면 항상 전체집합의 원소의 개수와 같다.

그러므로 전체집합 \( U \)의 한 부분집합 \( A \)에 대하여 \( n( A ) +n( A^{c} ) = n( U ) \)가 성립한다.

임의의 두 집합 \( A \), \( B \)에 대하여
\( n( A-B ) = n( A ) -n( A \cap B ) = n( A \cup B ) -n( B ) \)

집합 A에 대한 집합 B의 차집합은 집합 A의 원소 중 집합 B의 원소와 겹치는 원소, 즉 두 집합 A와 B의 교집합의 원소를 제외한 원소로 이루어진 집합이다. 또한 이 차집합은 두 집합 A와 B의 합집합의 원소 중 집합 B의 원소와 겹치는 원소를 제외한 원소로 이루어진 집합을 의미한다.