집합과 명제(14)

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 집합에서 연산을 하는 중에 두 집합에 대하여 합집합 또는 교집합 연산을 수행한 상태에서 여집합 연산을 하면 어떤 식으로 연산 결과를 적어줘야 할까? 이러한 물음의 해답은 드모르간의 법칙으로 설명한다.

드모르간의 법칙

전체집합 \( U \)의 두 부분집합 \( A \), \( B \)에 대하여 \( \left( A \cup B \right)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \), \( \left( A \cap B \right)^{c} = A^{c} \cup B^{c} \)

 드모르간의 법칙은 두 집합에 대하여 수행한 합집합 또는 교집합 연산에 여집합 연산을 수행할 때의 결과값을 나타내는 법칙이다. 이러한 여집합 연산은 드모르간의 법칙에 의하여 합집합은 교집합으로, 교집합은 합집합으로 바뀌며, 합집합 또는 교집합 연산을 수행한 두 집합은 모두 그 두 집합의 여집합으로 연산을 수행한다. 아래 그림은 벤다이어그램을 이용하여 증명한 드모르간의 법칙이다.

\( \left( A \cup B \right)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \), \( \left( A \cap B \right)^{c} = A^{c} \cup B^{c} \)

 여기서 볼 수 있는 드모르간의 법칙은 전체집합의 임의의 두 부분집합에 대해서 성립함을 보인다. 그렇다면 드모르간의 법칙은 두 집합 간 수행한 교집합, 합집합 연산에 대해서만 성립하는 것일까? 답은 아니다. 위에 있는 표에 서술되어 있는 드모르간의 법칙의 집합 \( B \) 자리에 집합 \( B \cup C \) 또는 집합 \( B \cap C \)를 대입하면 역시 \( \left( A \cup B \cup C \right)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c} \), \( \left( A \cap B \cap C \right)^{c} = A^{c} \cup B^{c} \cup C^{c} \)가 되어 전체집합 \( U \)의 임의의 세 부분집합에 대해서도 드모르간의 법칙이 성립함을 알 수 있다. 이와 동일한 방법으로 연산의 수를 3개 이상으로 늘려주어도 드모르간의 법칙이 성립함을 알 수 있다.

 

 

 

수학적 발견의 원동력은 논리적인 추론이 아니고 상상력이다.

-드모르간

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