집합과 명제(24)

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연역적 증명

 보통 증명을 얘기하면 가정으로부터 출발하여 결론을 얻어내는 연역적 증명을 말한다. 그러므로 연역적 증명은 명제에 변화를 주지 않고 가정으로부터 결론을 차근차근 유도해나간다. 예를 통해 알아보자.

예시

명제 ⓐ	임의의 정수 \( n \)에 대하여 \( n \)이 홀수인 정수이면 \( n^{2} \)은 홀수인 정수이다.
증명	정수 \( n \)이 홀수이므로 \( n = 2k+1 \)을 만족하는 정수 \( k \)가 존재한다. 등식 \( n = 2k+1 \)의 양변을 제곱하면 $$ \begin{matrix} n^{2} &=& \left( 2k+1 \right)^{2} \\ &=& 4k^{2}+4k+1 \\ &=& 2 \left( 2k^{2}+2k \right) +1 \end{matrix} $$ 이므로 \( n^{2} \)은 홀수이다. 따라서 임의의 정수 \( n \)에 대하여 \( n \)이 홀수인 정수이면 \( n^{2} \)은 홀수인 정수이다.
사용된 정리	홀수의 정의: \( n = 2k+1 \)을 만족하는 정수 \( k \)가 존재하는 정수 \( n \)

 이 명제 ⓐ에 대한 증명은 매우 간단하지만 증명에 대해 설명하기에는 매우 좋은 증명이라고 생각한다. 먼저 명제 ⓐ를 분석해보자. 명제 ⓐ의 가정은 <\( n \)이 홀수인 정수이다.>이고, 결론은 <\( n^{2} \)은 홀수인 정수이다.>이다. 이 명제를 서술하기 위해 사용된 용어는 <홀수>와 <정수>가 있으며, 두 용어에 대한 정의는 이미 알고 있는 정보로 취급한다. 즉, 조건으로 이루어진 명제를 서술하기 위해서는 우선 가정과 결론이 명확해야 하며, 각 조건을 서술하기 위한 용어의 정의를 알고 있어야 한다. 만약 각 조건을 서술하기 위한 용어를 알기 어려운 경우, 각 용어들의 정의를 밝혀주어야 함을 알 수 있다.

 이제 본격적으로 증명을 분석해보자. 명제 ⓐ의 증명 첫 문장에서는 <홀수의 정의>를 사용해 명제 ⓐ의 가정을 명확하게 밝히며 서술한다. 또한 증명의 전개에 필요한 미지수, 문자, 수식들을 정의하여, 이후의 흐름을 끊어지지 않게 한다.

 두 번째 문장에서는 첫 문장에서 만든 등식 \( n = 2k+1 \)의 양변을 제곱하는 연산을 통해 결과적으로 얻어내야하는 \( n^{2} \)을 \( k \)에 대한 식으로 나타내고, 홀수의 정의를 사용하기 위한 형태의 식으로 정리한다. 이후 홀수의 정의를 이용하여 \( n^{2} \)이 홀수인지 아닌지 판별한다.

 두 번째 문장에서 \( n^{2} \)이 홀수임을 알아냈고, 이는 명제 ⓐ의 가정에 의하여 유도된 결론이 되므로 명제 ⓐ가 참임을 내포한다. 그러므로 마지막 문장에서 명제 ⓐ의 진리값을 밝혀준다. 물론 여기서 명제 ⓐ의 진리값은 참이다.

 

 

 

이 세상에서 가장 이해할 수 없는 것은 이해할 수 있다고 하는 것이다.

-아인슈타인

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