집합과 명제(25)

※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

 보통 증명을 얘기하면 가정으로부터 출발하여 결론을 얻어내는 연역적 증명을 말한다. 그러나 증명에는 연역적 증명 이외에도 여러 종류가 있다. 본문에서는 대우에 의한 증명에 대해 알아볼 것이다.

대우에 의한 증명

 대우에 의한 증명은 대우증명법이라고도 불린다. 대우에 의한 증명은 어떤 명제의 대우의 진리값은 그 명제의 진리값과 동일하다는 성질을 이용한 증명법이다. 예시를 통해 알아보자.

예시

명제 ⓐ	임의의 정수 \( n \)에 대하여 \( 3n+2 \)가 홀수이면 \( n \)은 홀수이다.
명제 ⓐ의 대우	임의의 정수 \( n \)에 대하여 \( n \)이 짝수이면 \( 3n+2 \)는 짝수이다.
증명	명제 ⓐ의 대우는 다음과 같이 서술할 수 있다. 임의의 정수 \( n \)에 대하여 \( n \)이 짝수이면 \( 3n+2 \)는 짝수이다. 정수 \( n \)이 짝수이면 \( n = 2k \)인 정수 \( k \)가 존재하므로 $$ \begin{matrix} 3n+2 &=& 3 \times 2k +2 \\ &=& 6k+2 \\ &=& 2 \left( 3k+1 \right) \end{matrix} $$ 따라서 명제 ⓐ의 대우는 참이다. 이때, 명제 ⓐ와 명제 ⓐ의 대우의 진리값은 서로 같으므로 명제 ⓐ는 참이다.
사용된 정리	명제와 그 명제의 대우의 진리값은 서로 같다. 짝수의 정의: \( n = 2k \)를 만족하는 정수 \( k \)가 존재하는 정수 \( n \)

 대우증명법은 증명하고자 하는 명제가 직접증명법으로 증명하기 어려운 경우에 그 명제의 대우를 이용해 증명하는 방법이다. 이 증명법에 대한 근거는 <명제와 그 명제의 대우의 진리값은 서로 같다.>에 있다. 지금부터 증명을 분석해보자. 증명의 첫 줄에서 명제 ⓐ의 대우를 밝혀준다. 그 다음 그 명제의 대우의 가정으로부터 결론을 증명하는 직접증명을 수행한다. 이후 명제의 대우의 진리값을 밝혀주고, 명제와 그 명제의 대우의 진리값은 같다는 성질을 이용해 본래 증명하고자 하는 명제의 진리값을 구한다.

 

 

 

굳은 인내와 노력을 하지 않는 천재는 이 세상에서 있었던 적이 없다.

-아이작 뉴턴

---