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수학

대수(9) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 대부분의 독자들은 중학교에서 제곱근의 연산에 대해 배웠을 것이다. 당시 이 연산은 제곱근 안에 양수가 들어있는 경우에 한하여 다루었을 것이다. 그러나 우리는 허수에 대해 배웠고, 이를 이용해 음수의 제곱근 또한 연산에 포함시킬 수 있다. 본문에서는 음수의 제곱근을 포함한 연산에 대해 알아볼 것이다. 음수의 제곱근 임의의 양수

a

\sqrt{- a} = \sqrt{a} i

두 제곱근의 곱 -

\sqrt{a} \times \sqrt{b}

임의의 두 음수

a

b

에 대하여 \(.. 더보기

대수(8) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 복소수 집합 내에서 수행하는 연산의 대부분은 실수 집합 내에서 수행하는 연산과 크게 다르지 않다. 그러나 허수단위

i

의 정의로 인해 곱셈 연산에서 약간의 차이를 보이게 되는데, 복소수의 실수부분이 0이고 허수부분이 1일 경우, 다시 말해 허수단위

i

의 거듭제곱에서 특이한 성질을 가지게 된다. 본문에서는 이러한 허수단위

i

의 거듭제곱에 대해 알아볼 것이다. 허수단위

i

의 거듭제곱 먼저 허수단위

i

의 거듭제곱의 결과를 나타내 보자. $$ \begin{matrix} i^{1} = i .. 더보기

집합과 명제(15) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 집합은 여러 원소로 구성되며, 구성하는 원소의 개수가 곧 집합의 크기를 결정한다. 이러한 집합의 크기는 그 집합의 원소의 개수가 직접 제시되어 있다면 문제 없이 구할 수 있다. 그러나 원소의 개수를 직접적으로 제시해주지 않으면 제시되어 있는 정보를 통해 원하는 정보를 유추해야 한다. 본문에서는 이러한 집합의 크기를 유추하기 위해 사용되는 정리에 대해 다룰 것이다. 유한집합의 원소의 개수 어떤 집합의 원소의 개수를 셀 수 있다는 말은 곧 그 집합이 유한집합이라는 의미가 된다. 그러므로 본문에서도 유한집합의 원소의 개수를 유추하는 것에.. 더보기

집합과 명제(14) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 집합에서 연산을 하는 중에 두 집합에 대하여 합집합 또는 교집합 연산을 수행한 상태에서 여집합 연산을 하면 어떤 식으로 연산 결과를 적어줘야 할까? 이러한 물음의 해답은 드모르간의 법칙으로 설명한다. 드모르간의 법칙 전체집합

U

의 두 부분집합

A

B

{(A \cup B)}^{c} = A^{c} \cap B^{c}

{(A \cap B)}^{c} = A^{c} \cup B^{c}

드모르간의 법칙은 두 집합에 대하여 수행한 합집합 또.. 더보기

집합과 명제(13) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 여집합과 차집합에 대해 알아보았다. 본문에서는 여집합과 차집합이 가지는 성질에 대해 알아볼 것이다. 여집합과 차집합이 가지는 성질 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 ①

U^{c} = \emptyset

\emptyset^{c} = U

{(A^{c})}^{c} = A

A \cup A^{c} = U

A \cap A^{c} = \emptyset

A - B = A \cap B^{c}

⑤ \( A^{c} = U-A .. 더보기

집합과 명제(12) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 어떤 집합 내에서 정의되는 집합은 그 집합을 구성하는 기준으로 집합에 속하는 원소와 집합에 속하지 않는 원소를 구분지어 줄 수 있다. 이러한 집합에 속하지 않는 원소로 이루어진 집합을 여집합이라고 한다. 또한 두 집합이 있을 때, 한 집합의 원소 중 겹치지 않는 원소로 이루어진 집합을 차집합이라고 한다. 본문에서는 이러한 여집합과 차집합에 대해 알아볼 것이다. 여집합 집합

U

에서 정의되는 어떤 집합

A

에 대하여 집합

A

의 여집합은 다음과 같이 정의한다. 집합

U

의 원소 중 집합 \( A \.. 더보기

집합과 명제(11) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 합집합과 교집합 연산에 대하여 세 가지 연산법칙이 성립한다. 바로 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이다. 교환법칙 두 집합

A

B

A \cup B = B \cup A

A \cap B = B \cap A

이다. 아래 그림은 벤다이어그램을 통해 교환법칙을 나타낸 그림이다. 결합법칙 세 집합

A

B

C

(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

, \( \left(.. 더보기

대수(7) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 복소수 역시 수이므로 복소수 집합 내에서 대하여 닫혀있는 연산이 있을 것이다. 본문에서는 복소수의 나눗셈에 대하여 다룰 것이다. 복소수의 나눗셈 두 복소수

z_{1}

z_{2}

z_{1} = a_{1} + b_{1} i

z_{2} = a_{2} + b_{2} i

라고 하면 복소수의 나눗셈

\frac{z_{1}}{z_{2}}

는 다음과 같이 계산한다. $$ \frac{ z_{1} }{ z_{2} } = \frac{ a_{1} +b_{1} i }{ a_{2} +b_{2}.. 더보기

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