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수학

확률과 통계(10) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 이항계수에 대하여 알아보았다. 이항계수는 이항 거듭제곱식의 전개항의 계수를 의미하는데, 이로 인해 몇 가지 성질을 갖게 된다. 본문에서는 이항계수의 성질에 대하여 알아볼 것이다. 이항계수의 성질 먼저 (x+1)^{n}의 전개식을 생각해보자. $$ \left( x+1 \right)^{n} = {}_{n}\mathrm{C}_{0} +{}_{n}\mathrm{C}_{1} x +{}_{n}\mathrm{C}_{2} x^{2} +{}_{n}\mathrm{C}_{3} x^{3} +\cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n.. 더보기
확률과 통계(9) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 다항식의 거듭제곱의 전개식은 조합과 관련이 있다. 본문에서는 두 항의 합의 거듭제곱의 전개식의 각 항의 차수를 조합을 이용해 알려주는 정리인 이항정리에 대하여 알아볼 것이다. 이항정리 이항정리는 두 항으로 되어있는 다항식의 거듭제곱식의 전개식에서 각 항의 계수를 일반화해주는 정리이다. 먼저 x+y의 거듭제곱의 전개식을 살펴보자. $$ \left( x+y \right)^{1} = x+y $$ $$ \left( x+y \right)^{2} = x^{2} +2xy +y^{2} $$ $$ \left( x+y \right)^{3} = x^.. 더보기
확률과 통계(8) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 조합의 정의에 대하여 알아보았다. 본문에서는 이 조합의 정의에 의하여 파생되는 조합의 두 가지 성질에 대하여 알아볼 것이다. $$ {}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r} $$ $$ {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{r}+{}_{n}\mathrm{C}_{r+1} $$ 이 두 성질은 조합을 사용하는 연산에서 매우 중요하게 사용된다. 꼭 알아두길 바란다. $$ \text{①: } {}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\m.. 더보기
확률과 통계(7) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 순열에 대해 알아보았다. 순열은 서로 다른 n개의 원소 중 r개를 택하여 일렬로 나열하는 것으로, 순서를 가진다. 그렇다면 당연하게 순서를 가지지 않고 원소를 택하는 경우의 수에 대해서도 생각해 볼 수 있을 것이다. 그것이 바로 조합이다 본문에서는 조합에 대하여 알아볼 것이다. 조합 조합이란 서로 다른 원소들 중에서 순서에 상관없이 원소를 택하는 것을 말한다. 서로 다른 n개의 원소에서 순서에 상관없이 r개를 택하는 조합의 수를 다음과 같이 표현한다. $$ { {n} \choose {r} } \text{, } {}_{n}\m.. 더보기
삼각함수(5) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전에 삼각함수에 대해 다룬 글 중 을 보면 삼각비의 정의에 대해 설명하고 있다. 삼각함수는 이 삼각비의 정의에 따라 삼각비를 독립변수와 종속변수라는 두 변수를 이용하여 함수화하여 표현한 것이다. 이에 따라 당연하게도 앞서 다루었던 삼각비의 성질은 삼각함수에서 성립하며, 삼각함수에서 나타나는 성질 역시 삼각비에서 성립한다. 본문에서는 삼각함수의 성질 중 주기성에 대해여 알아볼 것이다. 삼각함수의 성질 - 주기성 삼각함수를 정의하기 위해서 삼각비를 이용했고, 삼각비를 정의하기 위해 원을 이용했다. 자, 다시 한번 원을 그리고 동경을.. 더보기
확률과 통계(6) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 본문에서 다룰 순열은 앞서 다루었던 순열들과 약간 다른 순열이다. 학생들이 이 순열을 부르는 이름은 상당히 다양하다. 본문에서는 완전순열이라는 이름을 사용할 것이다. 자, 지금부터 이 순열에 대해 알아보자. 완전순열 완전순열이란 모든 원소의 위치를 바꾸는 순열, 다시 말해 각 원소가 본래 있던 자리가 아닌 자리로 옮겨주는 순열이라는 뜻이다. 이 순열의 수를 구하려고 하면 정말 귀찮다. 필자는 이 순열의 수를 구할 때, 주로 단순한 노가다로 구하는 편이다. 모든 경우를 적어서. 시간도 오래 걸리고 귀찮은 작업이지만 꽤나 높은 정확도.. 더보기
확률과 통계(5) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 다룬 순열은 중복되는 원소의 개수가 정해져 있었다. 그러므로 우리는 이들의 경우의 수를 계산하는데 팩토리얼을 제외한 다른 방법을 사용하지 않았다. 자, 이제 본문에서 다룰 수열에 대해 알아보자. 본문에서는 각 원소들에 대해 중복을 허용하여 택한 후 일렬로 나열하는 순열, 즉 중복순열에 대해 알아볼 것이다. 중복순열 앞서 얘기했듯 중복순열이란 각 원소들에 대해 중복을 허용하여 택한 후 일렬로 나열하는 것이다. 이해를 하기 위해 얘시를 들어보자. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 위 7가지 숫자 중 5개를 중복을 허용하.. 더보기
확률과 통계(4) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 지금까지 알아본 순열들은 기본적으로 중복되는 것이 없다는 공통점이 있었다. 이번에 알아볼 것은 일부분이 중복되어 나열되는 순열의 경우의 수를 구하는 방법이다. 먼저 다음 7개의 문자를 나열하는 경우의 수를 구해보자. a, a, a, a, b, c, d 이 7개의 문자 중에는 a가 4개 있다. 즉, a를 나열하는 경우의 수는 동일한 경우로 취급해주어야 한다는 뜻이다. 자, 지금부터 이러한 꼴의 순열의 수를 구해보자. 먼저 4개의 a를 a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}로 구분해주자. 7개의 문자 a_{1}, a_{2},.. 더보기
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