확률과 통계(4)

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 지금까지 알아본 순열들은 기본적으로 중복되는 것이 없다는 공통점이 있었다. 이번에 알아볼 것은 일부분이 중복되어 나열되는 순열^[각주:1]의 경우의 수를 구하는 방법이다. 먼저 다음 7개의 문자를 나열하는 경우의 수를 구해보자.

a, a, a, a, b, c, d

 이 7개의 문자 중에는 a가 4개 있다. 즉, a를 나열하는 경우의 수는 동일한 경우로 취급해주어야 한다는 뜻이다. 자, 지금부터 이러한 꼴의 순열의 수를 구해보자. 먼저 4개의 a를 a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}로 구분해주자. 7개의 문자 a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, b, c, d를 일렬로 나열하는 경우의 수는 7!이다. 여기서 a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}를 일렬로 나열하는 경우의 수 4!은 하나의 경우이므로 구하는 경우의 수는

$$ \frac{7!}{4!} = 7 \times 6\times 5 = 210 $$

 즉, n개의 문자 중 한 종류의 문자가 r개 있을 때, 이 n개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 다음과 같다.

$$ \frac{n!}{r!} $$

 이를 확장하여 다음과 같은 순열을 생각해볼 수 있다.

n개의 문자 중 각 종류의 문자가 r_{1}, r_{2}, r_{3}, · · · , r_{i-1}, r_{i}개 있을 때,

(단, r_{1}, r_{2}, r_{3}, · · · , r_{i}는 자연수이고, r_{1}+r_{2}+r_{3}+\cdots+r_{i-1}+r_{i}=n)

이 n개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수

$$ \frac{n!}{r_{1}! r_{2}! r_{3}! \cdots r_{i-1}! r_{i}!} $$

 자, 정리하겠다. 같은 것이 있는 순열의 개수는 다음 과정을 통해 구할 수 있다.

1. 모든 원소를 서로 다른 것으로 생각하여 일렬로 나열하는 경우의 수를 구한다.
2. 중복되는 것끼리 일렬로 나열하는 경우의 수를 구한다.
3. (1.)에서 구한 경우의 수를 (2.)에서 구한 경우의 수로 나누어 준다.

 

 

 

인간 정신은 그 무엇보다 수학적 탐구에 의해 신성에 다가간다.

-헤르만 바일

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1. 다른 표현으로 같은 것이 있는 순열, 동자 순열이 있다. [본문으로]